Dada a equação reduzida da parábola cujo eixo é os dos y :
x^2=2 p y
Se fizermos x=t(t chamado parâmetro ) teremos y=12 p t^2. Então as equações paramétricas da parábola são, neste caso, dadas por cx=t y=12 p t^2, t in R. Com estas informações determine as equaçẽs paramétricas das parábolas:
a) x^2=14 y^2
b) (x+4)^2=-2(y-1)
c) y^2-4 y+x+1=0

Passo 1

O enunciado lembra as formas reduzidas das parábolas alinhadas com cada eixo e suas parametrizações básicas:
x^2 = 2p,y Longrightarrow x = t, y = dfract^22p,
e
y^2 = 2p,x Longrightarrow y = t, x = dfract^22p
Para parábolas transladadas, basta fazer a mudança de variáveis X = x - x0, Y = y - y0, parametrizar em X,Y e depois voltar a x,y.

Passo 2

Analisando
x^2 = 14,y^2 ;Longrightarrow; x^2 - tfrac14,y^2 = 0 ;Longrightarrow; l(x - tfrac12yr)l(x + tfrac12yr)=0,
vemos que não é parábola mas sim duas retas:
x = tfrac12y e x = -tfrac12y.

Passo 3

Para parametrizar cada reta, basta escolher y=t. Assim obtemos as duas parametrizações:
x = tfrac12,t, y = t e x = -tfrac12,t, y = t

Passo 4

Para
(x+4)^2 = -2,(y-1),
faça X = x+4, Y = y-1. Isso dá
X^2 = 2p,Y com 2p = -2;Rightarrow;p=-1
Logo a parametrização em X,Y é
X = t, Y = t^22p = -t^22,
e voltando a x,y:
x = t - 4, y = 1 - tfract^22

Passo 5

Para
y^2 - 4y + x + 1 = 0,
complete o quadrado em y:
y^2 -4y = (y-2)^2 -4,
logo
x = -l((y-2)^2 -4r) -1 = -(y-2)^2 +3
Defina Y = y-2 e note que isso dá
x - 3 = -Y^2 ;Longrightarrow; Y^2 = -(x-3) = 2p,(x-3) com 2p = -1 ;Rightarrow;p=-tfrac12
Parametrizando em Y:
Y = t, x-3 = t^22p = -t^2,
e voltando:
x = -,t^2 + 3, y = t + 2

Resposta

a) A equação
c)

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