Mostre que, qualquer que seja o valor de t, o ponto (a sec t, b tan t) pertence a hipérbole x^2a^2-y^2b^2=1, com t variando de 0 a 2 pi, t neq pi2 e t neq 3 pi2. Quando t in(-pi2, pi2) será descrito o ramo direito da hipérbole ( x >= a ) e quando t in(pi2, 3 pi2) será descrito o ramo esquerdo da hipérbole (x <=-a). O sistema lx=a sec t y=b tan t, são chamadas equações paramétricas da hipérbole. Com estas informações determine as equações paramétricas das seguintes hipérboles:
a) x^2-4 y^2=4
b) 9 x^2-25 y^2-18 x-50 y-241=0
c) 9 x^2+16 y^2+1=0

Passo 1

O enunciado pede para determinar as equações paramétricas das hipérboles dadas, usando o fato de que, na forma canônica
(x-h)^2a^2-(y-k)^2b^2=1,
uma parametrização válida é
x-h = asec t, y-k = btan t
Para cada caso vamos reescrever a curva em forma canônica, identificar a, b e o centro (h,k).

Passo 2

Para
x^2-4y^2 = 4
dividimos por 4:
x^24-y^21=1
Aqui a^2=4, b^2=1, logo a=2, b=1 e o centro é (0,0). As equações paramétricas são
x = 2sec t, y = tan t

Passo 3

Para
9x^2 -25y^2 -18x -50y -241=0
agrupamos e completamos quadrados:
9(x^2-2x)-25(y^2+2y)=241,
9l((x-1)^2-1r)-25l((y+1)^2-1r)=241,
9(x-1)^2-9-25(y+1)^2+25=241,
9(x-1)^2-25(y+1)^2=241+9-25=225
Dividindo por 225 obtemos a forma canônica:
(x-1)^225-(y+1)^29=1
Daí a=5, b=3 e centro (1,-1). As equações paramétricas são
x-1=5sec t, y+1=3tan t,
isto é
x = 1+5sec t, y = -1+3tan t

Passo 4

A equação
9x^2+16y^2+1=0
implica
9x^2+16y^2=-1,
mas o lado esquerdo é sempre >=0 para x,yinR, não podendo ser -1. Logo não há pontos reais nessa curva e não existe parametrização real por t.

Resposta

(a) x=2sec t,;y=tan t.
(b) x=1+5sec t,;y=-1+3tan t.
(c) Não há parametrização real, pois a curva não possui pontos reais.

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