Determine as equações reduzidas, se for o caso, o centro, os vértices, os focos e a excentricidade das elipses dadas:
a) x^2+2 y^2-5=0
b) 9 x^2+16 y^2-36 x+96 y+36=0
c) 16 x^2+y^2+64 x-4 y+52=0

Passo 1

O enunciado dá três equações do segundo grau que representam elipses. O conteúdo aqui é elipse: para cada caso, precisamos obter a forma reduzida padrão
(x-h)^2a^2+(y-k)^2b^2=1,
identificar o centro (h,k), os semieixos a e b, os vértices, os focos e a excentricidade e=c/a, onde c=raiza^2-b^2. Vamos usar completar quadrados quando houver termos lineares e comparar os denominadores para saber qual eixo é maior.

Passo 2

Para a elipse (a) x^2+2y^2-5=0 não há termos lineares, logo o centro é (0,0). Reescrevendo:
x^2 + 2y^2 =5 ;Longrightarrow; x^25 + y^25/2=1
Aqui a^2=5, b^2=5/2, logo a=raiz5, b=raiztfrac52. Como a>b, o eixo maior é horizontal.
Os vértices são (pm a,0)=(pmraiz5,0) e (0,pm b)=(0,pmraiz5/2).
Os focos têm abscissas pm c, com
c=raiza^2-b^2=raiz5-tfrac52=raiztfrac52,
logo focos em l(pmraiztfrac52,0r).
A excentricidade é
e=ca=raiz5/2raiz5=raiztfrac12=1raiz2

Passo 3

Para a elipse (b) 9x^2+16y^2-36x+96y+36=0, agrupamos e completamos quadrados:
9(x^2-4x)+16(y^2+6y)+36=0 ;Longrightarrow; 9l((x-2)^2-4r)+16l((y+3)^2-9r)+36=0
Longrightarrow; 9(x-2)^2+16(y+3)^2-144=0 ;Longrightarrow; (x-2)^216+(y+3)^29=1
O centro é (2,-3), com a^2=16, b^2=9, a=4, b=3. Como a>b, eixo maior horizontal.
Vértices em (2pm4,-3) e (2,-3pm3).
Focos:
c=raiza^2-b^2=raiz16-9=raiz7,
logo em l(2pmraiz7,,-3r).
Excentricidade e=raiz7/4.

Passo 4

Para a elipse (c) 16x^2+y^2+64x-4y+52=0, agrupamos e completamos quadrados:
16(x^2+4x)+(y^2-4y)+52=0 ;Longrightarrow; 16l((x+2)^2-4r)+l((y-2)^2-4r)+52=0
Longrightarrow; 16(x+2)^2+(y-2)^2-16=0 ;Longrightarrow; (x+2)^21+(y-2)^216=1
O centro é (-2,2), com a^2=16, b^2=1, a=4, b=1. Aqui a>b, mas como a^2 está em y, o eixo maior é vertical.
Vértices em (-2,2pm4) e (-2pm1,2).
Focos:
c=raiza^2-b^2=raiz16-1=raiz15,
logo em l(-2,,2pmraiz15r).
Excentricidade e=raiz15/4.

Resposta

a) x^25+y^25/2=1,
centro (0,0), vértices (pmraiz5,0), (0,pmraiz5/2), focos l(pmraiztfrac52,0r), e=1/raiz2.
b) (x-2)^216+(y+3)^29=1,
centro (2,-3), vértices (2pm4,-3), (2,-3pm3), focos l(2pmraiz7,-3r), e=raiz7/4.
c) (x+2)^21+(y-2)^216=1,
centro (-2,2), vértices (-2,2pm4), (-2pm1,2), focos l(-2,2pmraiz15r), e=raiz15/4.

Exercícios relacionados