Determine as equações reduzidas, se for o caso, o centro, os vértices, os focos e a excentricidade das elipses dadas:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado dá três equações do segundo grau que representam elipses. O conteúdo aqui é elipse: para cada caso, precisamos obter a forma reduzida padrão
identificar o centro
, os semieixos
e
, os vértices, os focos e a excentricidade
, onde
. Vamos usar completar quadrados quando houver termos lineares e comparar os denominadores para saber qual eixo é maior.
Passo 2
Para a elipse (a)
não há termos lineares, logo o centro é
. Reescrevendo:
Aqui
,
, logo
,
. Como
, o eixo maior é horizontal.
Os vértices são e
.
Os focos têm abscissas , com
Os vértices são
Os focos têm abscissas
logo focos em
.
A excentricidade é
A excentricidade é
Passo 3
Para a elipse (b)
, agrupamos e completamos quadrados:
O centro é
, com
,
,
,
. Como
, eixo maior horizontal.
Vértices em e
.
Focos:
Vértices em
Focos:
logo em
.
Excentricidade .
Excentricidade
Passo 4
Para a elipse (c)
, agrupamos e completamos quadrados:
O centro é
, com
,
,
,
. Aqui
, mas como
está em
, o eixo maior é vertical.
Vértices em e
.
Focos:
Vértices em
Focos:
logo em
.
Excentricidade .
Excentricidade
Resposta
a)
centro
, vértices
,
, focos
,
.
b)
centro
, vértices
,
, focos
,
.
c)
centro
, vértices
,
, focos
,
.