Mostre que, qualquer que seja o valor de t, o ponto (a cos t, b sin t) pertence a elipse x^2a^2+y^2b^2=1. Quando t varia de 0 a 2 pi, o ponto ( a cos t, b sin t ) percorre a elipse, a partir do vértice A1(a, 0), uma vez.
cx=a cos t y=b sin t, são chamadas equações paramétricas da elipse. Com estas informações determine as equações paramétricas das seguintes elipses:
4 x^2+9 y^2-54 y+45=0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro mostrar que, para todo t, o ponto \r
l(acos t,;bsin tr) satisfaz \r
x^2a^2+y^2b^2=1, \r
de modo que, quando t varia de 0 a 2pi, esse ponto percorre a elipse uma vez, partindo de (a,0). Em seguida, com esse mesmo raciocínio, precisamos encontrar as equações paramétricas da elipse dada por \r
4x^2+9y^2-54y+45=0

Passo 2

Para mostrar que \r
na equação da elipse e ver que dá identidade:\r
\r
Como , o ponto está sempre sobre a curva e, ao variar de a , descreve a elipse completa, começando em .

Passo 3

Agora vamos achar as equações paramétricas de \r
4x^2 + 9y^2 -54y +45 = 0 \r
Primeiro completamos o quadrado em y. Note que \r
9y^2 -54y = 9l(y^2 -6yr) = 9l((y-3)^2 -9r) = 9(y-3)^2 -81 \r
Substituindo de volta em 4x^2+9y^2-54y+45=0, obtemos \r
4x^2 + l[9(y-3)^2 -81r] +45 =0 Longrightarrow 4x^2 + 9(y-3)^2 -36 =0 \r
Agora isolamos em forma padrão de elipse: dividimos tudo por 36: \r
4x^236 + 9(y-3)^236 =1 Longrightarrow x^29 + (y-3)^24 =1 \r
Dessa forma vemos que é uma elipse centrada em (0,3), com semi-eixo maior a=3 (eixo horizontal) e semi-eixo menor b=2 (eixo vertical).

Passo 4

Como já definimos que, para a elipse padrão \r
\r
no nosso caso , , . Logo as equações paramétricas são \r

Resposta

x = 3cos t, y = 3 + 2sin t, 0<= t<=2pi

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