Mostre que, qualquer que seja o valor de
, o ponto
pertence a elipse
. Quando
varia de 0 a
, o ponto (
) percorre a elipse, a partir do vértice
, uma vez.
, são chamadas equações paramétricas da elipse. Com estas informações determine as equações paramétricas das seguintes elipses:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: primeiro mostrar que, para todo
, o ponto \r
satisfaz \r
de modo que, quando
varia de
a
, esse ponto percorre a elipse uma vez, partindo de
. Em seguida, com esse mesmo raciocínio, precisamos encontrar as equações paramétricas da elipse dada por \r
Passo 2
Para mostrar que \r
na equação da elipse e ver que dá identidade:\r
Como , o ponto está sempre sobre a curva e, ao variar
de
a
, descreve a elipse completa, começando em
.
Passo 3
Agora vamos achar as equações paramétricas de \r
Primeiro completamos o quadrado em
. Note que \r
Substituindo de volta em
, obtemos \r
Agora isolamos em forma padrão de elipse: dividimos tudo por
: \r
Dessa forma vemos que é uma elipse centrada em
, com semi-eixo maior
(eixo horizontal) e semi-eixo menor
(eixo vertical).
Passo 4
Como já definimos que, para a elipse padrão \r
\r
no nosso caso ,
,
. Logo as equações paramétricas são \r