Determine as equações reduzidas, se for o caso, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e as equações das assíntotas das hipérboles dadas:
a) x^2-2 y^2-8=0
b) 25 x^2-4 y^2+40 y=0
c) x^2-4 y^2-54 x+8 y+113=0

Passo 1

O enunciado pede para cada uma das hipérboles abaixo determinar a forma reduzida (equação canônica), o centro (h,k), os vértices, os focos, a excentricidade e e as equações das assíntotas:
a) x^2-2y^2-8=0
b) 25x^2-4y^2+40y=0
c) x^2-4y^2-54x+8y+113=0
Para isso vamos completar quadrados quando necessário e levar cada equação para a forma
pm(x-h)^2a^2pm(y-k)^2b^2=1

Passo 2

Para a hipérbole a) temos
x^2-2y^2-8=0 Longrightarrow x^2-2y^2=8 Longrightarrow x^28-y^24=1
Aqui o centro é (0,0) e a hipérbole abre no eixo x.

Passo 3

Na forma tfracx^28-tfracy^24=1 identificamos
a^2=8, b^2=4,
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a=2raiz2, b=2, c=raiza^2+b^2=raiz12=2raiz3, e=ca=raiztfrac32
Os vértices são
(pm a,0)=(pm2raiz2,0),
os focos
(pm c,0)=(pm2raiz3,0),
e as assíntotas
y=pmba,x=pm22raiz2x=pmxraiz2

Passo 4

Para a hipérbole b) escrevemos
25x^2-4y^2+40y=0 ;Longrightarrow; -4l(y^2-10yr)=-4l[(y-5)^2-25r]=-4(y-5)^2+100,
então
25x^2-4(y-5)^2+100=0 Longrightarrow 25x^2-4(y-5)^2=-100 Longrightarrow 4(y-5)^2-25x^2=100 Longrightarrow (y-5)^225-x^24=1
O centro é (0,5) e a hipérbole abre no eixo y.

Passo 5

Na forma tfrac(y-5)^225-tfracx^24=1 temos
a^2=25, b^2=4,
portanto
a=5, b=2, c=raiza^2+b^2=raiz29, e=raiz295
Os vértices são
(0,5pm a)=(0,10) e (0,0),
os focos
(0,5pmraiz29),
e as assíntotas
y-5=pmab,(x-0) Longrightarrow y-5=pm52,x

Passo 6

Para a hipérbole c) agrupamos e completamos quadrados:
x^2-54x = (x-27)^2-729, -4y^2+8y = -4l(y^2-2yr)=-4l[(y-1)^2-1r]=-4(y-1)^2+4
Substituindo em x^2-4y^2-54x+8y+113=0
(x-27)^2-729 -4(y-1)^2+4+113=0 Longrightarrow (x-27)^2-4(y-1)^2-612=0 Longrightarrow (x-27)^2612-(y-1)^2153=1
O centro é (27,1) e abre no eixo x.

Passo 7

Na forma tfrac(x-27)^2612-tfrac(y-1)^2153=1 temos
a^2=612=36cdot17, b^2=153=9cdot17,
logo
a=6raiz17, b=3raiz17, c=raiza^2+b^2=raiz765=3raiz85, e=ca=3raiz856raiz17=raiz52
Os vértices são
(27pm a,1)=(27pm6raiz17,1),
os focos
(27pm3raiz85,1),
e as assíntotas
y-1=pmba(x-27) Longrightarrow y-1=pm12(x-27)

Resposta

(a) x^28-y^24=1, centro (0,0), vértices (pm2raiz2,0), focos (pm2raiz3,0), e=raiztfrac32, assíntotas y=pmtfracxraiz2.
(b) (y-5)^225-x^24=1, centro (0,5), vértices (0,10) e (0,0), focos (0,5pmraiz29), e=tfracraiz295, assíntotas y-5=pmtfrac52x.
(c) (x-27)^2612-(y-1)^2153=1, centro (27,1), vértices (27pm6raiz17,1), focos (27pm3raiz85,1), e=tfracraiz52, assíntotas y-1=pmtfrac12(x-27).

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