Dada a equação de Ricatti
\frac{d y}{d x}=6-5 y+y^{2},
determine uma solução particular constante e depois resolva a equação.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Riccati
\frac{d y}{d x}=6-5y+y^{2},
que pode ser vista como
\frac{d y}{d x}=(y-2)(y-3).
O conteúdo aqui é resolver uma equação diferencial ordinária de primeira ordem que é separável, mas antes precisamos achar uma solução particular constante (equilíbrio). Para a solução geral, usaremos separação de variáveis e frações parciais.

Passo 2

Para encontrar uma solução particular constante, basta fazer \tfrac{d y}{d x}=0. Assim, resolvemos
(y-2)(y-3)=0
que dá as raízes
y=2 \quad\text{ou}\quad y=3.
Portanto, y_{p}=2 e y_{p}=3 são soluções constantes.

Passo 3

Para obter a solução geral (exceto as constantes), separamos variáveis:
\frac{d y}{(y-2)(y-3)}=d x.
Fazemos frações parciais:
\frac{1}{(y-2)(y-3)} =\frac{1}{y-3}-\frac{1}{y-2}.
Integrando ambos os lados,
\int\Bigl(\frac{1}{y-3}-\frac{1}{y-2}\Bigr)\,dy =\int 1\,dx
\ln\bigl|y-3\bigr|-\ln\bigl|y-2\bigr| =x+C.

Passo 4

Reagrupando,
\ln\frac{y-3}{y-2}=x+C \quad\Longrightarrow\quad \frac{y-3}{y-2}=K\,e^{x},
onde K=e^{C} é constante de integração. Então
y-3=K\,e^{x}(y-2) \quad\Longrightarrow\quad y\,(1-K\,e^{x})=3-2K\,e^{x} \quad\Longrightarrow\quad y(x) =\frac{3-2K\,e^{x}}{1-K\,e^{x}}.

Resposta

Soluções particulares constantes:
y=2 \quad\text{e}\quad y=3.
Solução geral (com K arbitrário):
y(x)=\frac{3-2K\,e^{x}}{1-K\,e^{x}}.

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