Resolva as equações
x^{2} \frac{d y}{d x}+y^{2}=x y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
x^{2}\,\frac{d y}{d x}+y^{2}=x\,y.
O conteúdo aqui é o de equações homogêneas, pois o termo do lado direito x\,y e o termo y^{2} têm a mesma “escala” em x e y. Vamos usar a substituição habitual y= u\,x.

Passo 2

Primeiro, dividimos toda a equação por x^{2}, supondo x\neq0, para colocá-la em forma padrão:
\frac{d y}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{2}} = \frac{y}{x}.

Passo 3

Como o corpo da equação depende apenas da razão y/x, definimos
u=\frac{y}{x}\quad\Longrightarrow\quad y=u\,x.
Dessa relação segue
\frac{d y}{d x} = u + x\,\frac{d u}{d x}.
Substituindo em \frac{d y}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{2}} = \frac{y}{x} obtemos
u + x\,\frac{d u}{d x} + u^{2} = u
pois \frac{y^{2}}{x^{2}}=u^{2} e \frac{y}{x}=u.

Passo 4

Na expressão acima cancelam os u nos dois lados, restando
x\,\frac{d u}{d x} + u^{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d u}{d x} = -\,\frac{u^{2}}{x}.
Esta é uma equação separável. Reescrevemos como
\frac{d u}{u^{2}} = -\,\frac{d x}{x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
\int \frac{d u}{u^{2}} = \int -\frac{d x}{x} \quad\Longrightarrow\quad -\,\frac{1}{u} = -\ln\bigl|x\bigr| + C_{1},
onde C_{1} é constante de integração. Multiplicando por -1, temos
\frac{1}{u} = \ln\bigl|x\bigr| + C,
com C=-C_{1}. Logo
u = \frac{1}{\ln\bigl|x\bigr| + C}.

Passo 6

Voltando à variável original, y=u\,x, obtemos a solução geral
y(x) = \frac{x}{\ln\bigl|x\bigr| + C},
válida para x\neq0.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
\boxed{y(x) = \frac{x}{\ln\bigl|x\bigr| + C},\quad C\in\mathbb{R}.}

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