Encontre uma solução contínua para o problema de valor inicial
\frac{d y}{d x}+2 y=f(x), \quad f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1, & 0 \leq x \leq 3 \\\\ 0, & x>3 \end{array} \quad, y(0)=0 .\right.
Verifique se a solução encontrada é derivável em x=3.

Passo 1

O enunciado pede a solução contínua do PVI \dfrac{dy}{dx}+2y=f(x)\), com \[f(x)=\begin{cases} 1, & 0\le x\le3,\\\\ 0, & x>3, \end{cases} \quad y(0)=0.
Vamos usar o método do fator integrante para cada região de x\] e impor continuidade em \(x=3.

Passo 2

Para 0\le x\le3 temos f(x)=1. O fator integrante é \mu(x)=e^{\int2\,dx}=e^{2x}.
Multiplicando a ODE por \mu(x)
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{2x}\bigr)=e^{2x}\cdot1=e^{2x}.
Integrando,
y\,e^{2x}=\int e^{2x}\,dx=\frac12\,e^{2x}+C_1 \quad\Longrightarrow\quad y=\frac12 +C_1\,e^{-2x}.
Como y(0)=0, vem
0=\frac12+C_1\;\Longrightarrow\;C_1=-\frac12,
logo para 0\le x\le3 y(x)=\frac12\bigl(1-e^{-2x}\bigr).

Passo 3

Para x>3 temos f(x)=0. A equação fica homogênea \dfrac{dy}{dx}+2y=0 com solução
y(x)=C_2\,e^{-2x}.
Para determinar C_2 usamos a continuidade em x=3: y(3^-)=y(3^+). Do ramo anterior y(3^-)=\tfrac12(1-e^{-6}),
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C_2\,e^{-6}=\frac12\bigl(1-e^{-6}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad C_2=\frac12\bigl(1-e^{-6}\bigr)\,e^{6} =\frac{e^{6}-1}2.
Assim, para x>3 y(x)=\frac{e^{6}-1}2\,e^{-2x}.

Passo 4

Juntando as duas regiões, a solução contínua é
y(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac12\bigl(1-e^{-2x}\bigr), & 0\le x\le3,\\[1em] \displaystyle \frac{e^{6}-1}2\,e^{-2x}, & x>3. \end{cases}]

Passo 5

Calculemos as derivadas laterais em x=3.
Para x<3: \;y'(x)=\frac{d}{dx}\bigl[\tfrac12(1-e^{-2x})\bigr]=e^{-2x},
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y'(3^-)=e^{-6}.
Para x>3: \;y'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl[C_2\,e^{-2x}\Bigr]=-2\,C_2\,e^{-2x},
e em x=3 y'(3^+)= -2\,\frac{e^{6}-1}2\,e^{-6} =-(e^{6}-1)\,e^{-6} =e^{-6}-1.
Como e^{-6}\neq e^{-6}-1, as derivadas laterais não coincidem e a solução não é derivável em x=3.

Resposta

A solução contínua é
y(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac12\bigl(1-e^{-2x}\bigr), & 0\le x\le3,\\[0.5em] \displaystyle \frac{e^{6}-1}2\,e^{-2x}, & x>3, \end{cases}
e ela não é derivável em x=3.]

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