Dada a equação
, obtenha a equação da continuidade elétrica( 2,0 ptos).
Passo 1
Beleza, vamos lá. O enunciado nos dá a Lei de Ampère–Maxwell, que em forma vetorial é
A tarefa é, a partir dela, chegar na equação da continuidade elétrica, que relaciona a densidade de corrente
e a densidade de carga
.
Conteúdo: cálculo vetorial (operadores rot e div) e Lei de Gauss para . Vamos precisar de duas propriedades básicas:
Conteúdo: cálculo vetorial (operadores rot e div) e Lei de Gauss para
- A divergência do rotacional de qualquer campo é zero.
- A Lei de Gauss para
: .
Passo 2
Primeiro passo na resolução de fato: aplicar o operador divergência em ambos os lados da Lei de Ampère–Maxwell. Ou seja, tomamos
Aqui, usamos a propriedade de que podemos “levar” a divergência pra dentro da soma de campos.
Passo 3
Agora, duas observações:
- Matemática pura:
. É um resultado geral do cálculo vetorial. - Temporal e espacial são “independentes”, então
Aí nossa equação vira
Passo 4
Agora entra a Lei de Gauss para o vetor
:
onde
é a densidade de carga elétrica. Substituindo nisso, ficamos com
Pronto, essa é a equação da continuidade, que diz que a variação de carga local só pode acontecer devido a correntes entrando ou saindo.