Dada a equação rot H=J+partial Dpartial t, obtenha a equação da continuidade elétrica( 2,0 ptos).

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado nos dá a Lei de Ampère–Maxwell, que em forma vetorial é
rot H = J + partial Dpartial t
A tarefa é, a partir dela, chegar na equação da continuidade elétrica, que relaciona a densidade de corrente e a densidade de carga .
Conteúdo: cálculo vetorial (operadores rot e div) e Lei de Gauss para . Vamos precisar de duas propriedades básicas:
  1. A divergência do rotacional de qualquer campo é zero.
  2. A Lei de Gauss para : .

Passo 2

Primeiro passo na resolução de fato: aplicar o operador divergência em ambos os lados da Lei de Ampère–Maxwell. Ou seja, tomamos
nabla!cdot!l(rot Hr) = nabla!cdot!J ;+; nabla!cdot!partial Dpartial t
Aqui, usamos a propriedade de que podemos “levar” a divergência pra dentro da soma de campos.

Passo 3

Agora, duas observações:
  1. Matemática pura: nabla!cdot!partial Dpartial t = partialpartial tl(nabla!cdot!Dr) . É um resultado geral do cálculo vetorial.
  2. Temporal e espacial são “independentes”, então
0 = nabla!cdot!J ;+; partialpartial tl(nabla!cdot!Dr)
Aí nossa equação vira

Passo 4

Agora entra a Lei de Gauss para o vetor nabla!cdot!D = rho, :
0 = nabla!cdot!J ;+; partial rhopartial t
onde é a densidade de carga elétrica. Substituindo nisso, ficamos com
Pronto, essa é a equação da continuidade, que diz que a variação de carga local só pode acontecer devido a correntes entrando ou saindo.

Resposta

nabla!cdot!J + partial rhopartial t = 0

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