Verifique o valor para o qual as séries abaixo convergem indicando o critério usado:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte a) do exercício. A gente tem uma série infinita que precisa descobrir para qual valor ela converge. O enunciado é:
Nós vamos usar conceitos de séries telescópicas e frações parciais para resolver isso. Vamos precisar decompor a expressão em frações mais simples para identificar como os termos vão se cancelar.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da série:
Agora, precisamos fazer uma decomposição em frações parciais para quebrar essa fração em termos mais fáceis de somar.
Passo 3
Vamos encontrar constantes $ A $ e $ B $ tais que:
Multiplicando os dois lados por $ (2k+1)(2k+3) $, temos:
Expandindo os termos:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de $ k $ e os termos constantes:
Passo 4
Resolvendo o sistema de equações:
Substituindo $ A = -B $ na segunda equação:
Então, $ A = 1 $.
Passo 5
Agora sabemos que:
Substituindo de volta na série, temos:
Isso é uma série telescópica, onde muitos termos vão se cancelar.
Passo 6
Vamos observar as primeiras somas parciais para ver o padrão de cancelamento:
Vemos que quase todos os termos se cancelam, sobrando apenas:
Passo 7
Agora, para encontrar o valor da série quando $ n $ tende ao infinito, analisamos:
Então, a série converge para $ \frac{1}{3} $.
Resposta
A série converge para
.