Verifique o valor para o qual as séries abaixo convergem indicando o critério usado:
a) sumk=1^infty(22 k+1)(12 k+3)
b) sumn=1^infty 1ln (n+2)-1ln (n+1)
c) sumn=1^infty 40 n(2 n-1)^2(2 n+1)^2
d) sumn=3^infty 1raizn-1raizn+1
e) sumk=1^infty 1(4 k+1)(4 k+5)
f) sumk=1^infty 1k(k+1)(k+2)
g) sumk=1^infty 2 k+1k^2(k+1)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte a) do exercício. A gente tem uma série infinita que precisa descobrir para qual valor ela converge. O enunciado é:
sumk=1^infty(22 k+1)(12 k+3)
Nós vamos usar conceitos de séries telescópicas e frações parciais para resolver isso. Vamos precisar decompor a expressão em frações mais simples para identificar como os termos vão se cancelar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da série:
(22k+1)(12k+3) = 2(2k+1)(2k+3)
Agora, precisamos fazer uma decomposição em frações parciais para quebrar essa fração em termos mais fáceis de somar.

Passo 3

Vamos encontrar constantes $ A $ e $ B $ tais que:
A
Multiplicando os dois lados por $ (2k+1)(2k+3) $, temos:
B
Expandindo os termos:
2(2k+1)(2k+3) = A2k+1 + B2k+3
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de $ k $ e os termos constantes:
(2k+1)(2k+3)
2 = A(2k+3) + B(2k+1)

Passo 4

Resolvendo o sistema de equações:
2A + 2B = 0 Rightarrow A = -B
Substituindo $ A = -B $ na segunda equação:
A = -B
Então, $ A = 1 $.

Passo 5

Agora sabemos que:
2(2k+1)(2k+3) = 12k+1 - 12k+3
Substituindo de volta na série, temos:
sumk=1^infty ( 12k+1 - 12k+3 )
Isso é uma série telescópica, onde muitos termos vão se cancelar.

Passo 6

Vamos observar as primeiras somas parciais para ver o padrão de cancelamento:
Sn = ( 13 - 15 ) + ( 15 - 17 ) + ( 17 - 19 ) + cdots + ( 12n+1 - 12n+3 )
Vemos que quase todos os termos se cancelam, sobrando apenas:
Sn = 13 - 12n+3

Passo 7

Agora, para encontrar o valor da série quando $ n $ tende ao infinito, analisamos:
n
Então, a série converge para $ \frac{1}{3} $.

Resposta

A série converge para 13.

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