Dada a equação x^2+y^2=14 x+6 y+6, se p é o maior valor possível de x, e q é o maior valor possível de y, então, 3 p+4 q é igual a:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação que envolve um círculo. A equação dada é $ x^{2} + y^{2} = 14x + 6y + 6 $. Nosso objetivo é encontrar os maiores valores possíveis de $ x $ e $ y $, que chamaremos de $ p $ e $ q $ respectivamente, e então calcular $ 3p + 4q $. Para isso, vamos precisar completar o quadrado e entender um pouco sobre as propriedades dos círculos no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar o processo de completar o quadrado. Vamos trazer todos os termos para um lado da equação:
x^2 - 14x + y^2 - 6y = 6

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de $ x $ e de $ y $ separadamente. Completar o quadrado é uma técnica que nos ajuda a transformar uma expressão quadrática em uma forma que nos permite identificar o centro e o raio do círculo.
Para o termo de $ x $:
x
Tomamos metade do coeficiente de $ x $, que é $ -14/2 = -7 $, e elevamos ao quadrado: $ (-7)^2 = 49 $.
Então, adicionamos e subtraímos 49:
y
Para o termo de $ y $:
x
Metade de $ -6 $ é $ -3 $, e ao quadrado fica $ 9 $.
Adicionamos e subtraímos 9:
x^2 - 14x

Passo 4

Substituindo de volta na equação original, temos:
(x^2 - 14x + 49) - 49 + (y^2 - 6y + 9) - 9 = 6
Isso simplifica para:
(x - 7)^2 + (y - 3)^2 - 58 = 6

Passo 5

Agora, isolamos os termos completos:
(x - 7)^2 + (y - 3)^2 = 6 + 58
(x - 7)^2 + (y - 3)^2 = 64

Passo 6

Essa é a forma padrão da equação de um círculo: $ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 $, onde $ (h, k) $ é o centro e $ r $ é o raio.
Então, identificamos:
  • Centro $ (h, k) = (7, 3) $
  • Raio $ r = \sqrt{64} = 8 $

Passo 7

Para encontrar o maior valor de $ x $ ($ p $) no círculo, consideramos que ele ocorre no ponto mais à direita do círculo, que é o centro mais o raio na direção de $ x $:
x
Da mesma forma, o maior valor de $ y $ ($ q $) ocorre no ponto mais alto do círculo:
p

Resposta

Portanto, $ 3p + 4q = 3 \times 15 + 4 \times 11 = 45 + 44 = 89 $.

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