Dada a equação
, se
é o maior valor possível de
, e
é o maior valor possível de
, então,
é igual a:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação que envolve um círculo. A equação dada é $ x^{2} + y^{2} = 14x + 6y + 6 $. Nosso objetivo é encontrar os maiores valores possíveis de $ x $ e $ y $, que chamaremos de $ p $ e $ q $ respectivamente, e então calcular $ 3p + 4q $. Para isso, vamos precisar completar o quadrado e entender um pouco sobre as propriedades dos círculos no plano cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar o processo de completar o quadrado. Vamos trazer todos os termos para um lado da equação:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de $ x $ e de $ y $ separadamente. Completar o quadrado é uma técnica que nos ajuda a transformar uma expressão quadrática em uma forma que nos permite identificar o centro e o raio do círculo.
Para o termo de $ x $:
Tomamos metade do coeficiente de $ x $, que é $ -14/2 = -7 $, e elevamos ao quadrado: $ (-7)^2 = 49 $.
Então, adicionamos e subtraímos 49:
Para o termo de $ y $:
Metade de $ -6 $ é $ -3 $, e ao quadrado fica $ 9 $.
Adicionamos e subtraímos 9:
Passo 4
Substituindo de volta na equação original, temos:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, isolamos os termos completos:
Passo 6
Essa é a forma padrão da equação de um círculo: $ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 $, onde $ (h, k) $ é o centro e $ r $ é o raio.
Então, identificamos:
- Centro $ (h, k) = (7, 3) $
- Raio $ r = \sqrt{64} = 8 $
Passo 7
Para encontrar o maior valor de $ x $ ($ p $) no círculo, consideramos que ele ocorre no ponto mais à direita do círculo, que é o centro mais o raio na direção de $ x $:
Da mesma forma, o maior valor de $ y $ ($ q $) ocorre no ponto mais alto do círculo:
Resposta
Portanto, $ 3p + 4q = 3 \times 15 + 4 \times 11 = 45 + 44 = 89 $.