Dada a equação x^{3}-3 x^{2}-9 x+\lambda=0, determine os valores de \lambda para os quais:
(a) a equação tem uma raiz dupla;
(b) a equação tem três raízes reais distintas.
[ Uma raiz de um polinômio é dupla se for raiz do polinômio e de sua derivada, mas não da derivada segunda].

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+\lambda
com parâmetro \lambda.
(a) Queremos \lambda tais que haja uma raiz dupla, ou seja, exista r com
f(r)=0,\quad f'(r)=0,\quad f''(r)\neq0.
(b) Queremos \lambda para que f tenha três raízes reais distintas. Para isso, usaremos o comportamento de f nos pontos críticos dados por f'(x)=0.

Passo 2

Calculamos a derivada e a segunda derivada:
f'(x)=3x^{2}-6x-9=3(x-3)(x+1),
f''(x)=6x-6.
Logo os pontos críticos são x=-1 e x=3. Em cada um veremos quando também f(x)=0.

Passo 3

Para raiz dupla r\in\{-1,3\} deve valer f(r)=0:
  1. Se r=3:
    f(3)=3^{3}-3\cdot3^{2}-9\cdot3+\lambda =27-27-27+\lambda =\lambda-27.
    Impor f(3)=0 \lambda=27. E f''(3)=6\cdot3-6=12\neq0, logo válido.
  2. Se r=-1:
    f(-1)=(-1)^{3}-3(-1)^{2}-9(-1)+\lambda =-1-3+9+\lambda =5+\lambda.
    Impor f(-1)=0 \lambda=-5. E f''(-1)=6(-1)-6=-12\neq0, também válido.
Portanto, para \lambda=27 ou \lambda=-5 o polinômio tem uma raiz dupla.

Passo 4

Para três raízes reais distintas num polinômio cúbico de coeficiente líder positivo, basta que f nos dois pontos críticos tome valores de sinais opostos (há então duas mudanças de sinal e três cruzamentos do eixo).
Calculamos
f(-1)=5+\lambda,
f(3)=\lambda-27,
e exigimos
f(-1)\,f(3)<0 \;\Longleftrightarrow\; (5+\lambda)(\lambda-27)<0.

Passo 5

Resolvendo a desigualdade
(5+\lambda)(\lambda-27)<0
as raízes da equação associada são \lambda=-5 e \lambda=27. Como o coeficiente de \lambda^{2} é positivo, a expressão fica negativa quando
-5<\lambda<27.
Nesse intervalo, f tem três raízes reais distintas.

Resposta

(a) \lambda=-5 ou \lambda=27.
(b) -5<\lambda<27.

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