Dada a equação
, determine os valores de
para os quais:
(a) a equação tem uma raiz dupla;
(b) a equação tem três raízes reais distintas.
[ Uma raiz de um polinômio é dupla se for raiz do polinômio e de sua derivada, mas não da derivada segunda].
(a) a equação tem uma raiz dupla;
(b) a equação tem três raízes reais distintas.
[ Uma raiz de um polinômio é dupla se for raiz do polinômio e de sua derivada, mas não da derivada segunda].
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
com parâmetro
.
(a) Queremos tais que haja uma raiz dupla, ou seja, exista
com
(a) Queremos
(b) Queremos
para que
tenha três raízes reais distintas. Para isso, usaremos o comportamento de
nos pontos críticos dados por
.
Passo 2
Calculamos a derivada e a segunda derivada:
Logo os pontos críticos são
e
. Em cada um veremos quando também
.
Passo 3
Para raiz dupla
deve valer
:
-
Se
: Impordá . E , logo válido. -
Se
: Impordá . E , também válido.
Portanto, para
ou
o polinômio tem uma raiz dupla.
Passo 4
Para três raízes reais distintas num polinômio cúbico de coeficiente líder positivo, basta que
nos dois pontos críticos tome valores de sinais opostos (há então duas mudanças de sinal e três cruzamentos do eixo).
Calculamos
Calculamos
e exigimos
Passo 5
Resolvendo a desigualdade
as raízes da equação associada são
e
. Como o coeficiente de
é positivo, a expressão fica negativa quando
Nesse intervalo,
tem três raízes reais distintas.
Resposta
(a)
ou
.
(b) .
(b)