Demonstre que os zeros das funções seno e cosseno são os seus únicos pontos de inflexão

Passo 1

Vamos lembrar o que é ponto de inflexão. Se f é duas vezes derivável e contínua em torno de x=c, então c é ponto de inflexão de f se e somente se a concavidade de f muda ao passar por c. Em termos de segunda derivada, isso significa que f''\text{(c)}=0 e que f'' troca de sinal ao redor de c.

Passo 2

Começando por f(x)=\sin(x), calculamos as derivadas:\r
f'(x)=\cos(x),
f''(x)=-\sin(x).\r
Os candidatos a inflexão satisfazem f''(x)=0, ou seja,\r
-\sin(x)=0\quad\Longrightarrow\quad \sin(x)=0\quad\Longrightarrow\quad x=n\pi,\;n\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Para verificar a troca de sinal de f'' em x=n\pi, note que para um pequeno h>0\r
\sin(n\pi+h)=(-1)^n\sin(h)\approx(-1)^n h.\r
Logo\r
f''(n\pi+h)=-\sin(n\pi+h)\approx -(-1)^n h = (-1)^{n+1}h,\r
que muda de sinal quando h passa de positivo para negativo. Isso confirma que cada x=n\pi é ponto de inflexão de \sin(x), e não há outras soluções de f''(x)=0.

Passo 4

Agora para g(x)=\cos(x) temos\r
g'(x)=-\sin(x),
g''(x)=-\cos(x).\r
Os candidatos a inflexão satisfazem g''(x)=0, ou seja,\r
-\cos(x)=0\quad\Longrightarrow\quad \cos(x)=0\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{\pi}{2}+n\pi,\;n\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Verificamos a troca de sinal de g'' em x=\tfrac{\pi}{2}+n\pi de modo análogo: para pequeno h,\r
\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}+n\pi+h\bigr)=(-1)^n\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}+h\bigr)\approx(-1)^n(-h),\r
logo\r
g''\bigl(\tfrac{\pi}{2}+n\pi+h\bigr)=-\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}+n\pi+h\bigr)\approx -\bigl[(-1)^n(-h)\bigr]=(-1)^{n+1}h,\r
que troca de sinal. Assim, esses são exatamente os pontos de inflexão de \cos(x).

Resposta

Os únicos pontos de inflexão de \sin(x) são \r
x = n\pi,\;n\in\mathbb{Z},\r
e os únicos pontos de inflexão de \cos(x) são \r
x = \frac{\pi}{2} + n\pi,\;n\in\mathbb{Z}.

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