Demonstre que os zeros das funções seno e cosseno são os seus únicos pontos de inflexão
Passo 1
Vamos lembrar o que é ponto de inflexão. Se
é duas vezes derivável e contínua em torno de
, então
é ponto de inflexão de
se e somente se a concavidade de
muda ao passar por
. Em termos de segunda derivada, isso significa que
e que
troca de sinal ao redor de
.
Passo 2
Começando por
, calculamos as derivadas:\r
Os candidatos a inflexão satisfazem
, ou seja,\r
Passo 3
Para verificar a troca de sinal de
em
, note que para um pequeno
\r
Logo\r
que muda de sinal quando
passa de positivo para negativo. Isso confirma que cada
é ponto de inflexão de
, e não há outras soluções de
.
Passo 4
Agora para
temos\r
Os candidatos a inflexão satisfazem
, ou seja,\r
Passo 5
Verificamos a troca de sinal de
em
de modo análogo: para pequeno
,\r
logo\r
que troca de sinal. Assim, esses são exatamente os pontos de inflexão de
.
Resposta
Os únicos pontos de inflexão de
são \r
e os únicos pontos de inflexão de
são \r