Deve-se construir uma caixa de base retangular com um pedaço de cartolina de 3 dm por 2 dm , cortando-se fora um quadrado de cada vértice e então dobrando-se os lados. Determine o lado do quadrado extraído que produz a caixa de volume máximo.
Passo 1
O enunciado nos dá uma cartolina retangular de
por
e pede para cortar um quadrado de lado
em cada canto, dobrar as abas e obter uma caixa aberta. Queremos escolher
para que o volume da caixa seja máximo. O conteúdo da matéria aqui é otimização de função com derivadas.
Passo 2
Vamos expressar o volume
da caixa em função de
. Após cortar quadrados de lado
, as dimensões da base ficam
e
, e a altura é
. Logo,
Expandindo,
Passo 3
Precisamos do domínio de
em que a caixa existe:
e
. Portanto
.
Passo 4
Para achar extremos, calculamos a derivada
Igualando a zero,
As raízes são
Dessas, apenas
está em
.
Passo 5
Para confirmar que é máximo, avaliamos a segunda derivada:
Em
temos
logo é ponto de máximo.
Resposta
O lado do quadrado que maximiza o volume é