Deve-se construir uma caixa de base retangular com um pedaço de cartolina de 3 dm por 2 dm , cortando-se fora um quadrado de cada vértice e então dobrando-se os lados. Determine o lado do quadrado extraído que produz a caixa de volume máximo.

Passo 1

O enunciado nos dá uma cartolina retangular de 3\,\mathrm{dm} por 2\,\mathrm{dm} e pede para cortar um quadrado de lado x em cada canto, dobrar as abas e obter uma caixa aberta. Queremos escolher x para que o volume da caixa seja máximo. O conteúdo da matéria aqui é otimização de função com derivadas.

Passo 2

Vamos expressar o volume V da caixa em função de x. Após cortar quadrados de lado x, as dimensões da base ficam 3-2x e 2-2x, e a altura é x. Logo,
V(x)=x\,(3-2x)\,(2-2x).
Expandindo,
V(x)=x\,(6-10x+4x^2)=6x-10x^2+4x^3.

Passo 3

Precisamos do domínio de x em que a caixa existe:
3-2x>0\implies x<\tfrac32, \quad 2-2x>0\implies x<1,
e x>0. Portanto 0<x<1.

Passo 4

Para achar extremos, calculamos a derivada
V'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(6x-10x^2+4x^3\bigr)=6-20x+12x^2.
Igualando a zero,
12x^2-20x+6=0 \quad\Longrightarrow\quad 6x^2-10x+3=0.
As raízes são
x=\frac{10\pm\sqrt{100-72}}{12} =\frac{10\pm2\sqrt7}{12} =\frac{5\pm\sqrt7}{6}.
Dessas, apenas
x=\frac{5-\sqrt7}{6}\approx0,3924
está em (0,1).

Passo 5

Para confirmar que é máximo, avaliamos a segunda derivada:
V''(x)=\frac{d}{dx}(6-20x+12x^2)=-20+24x.
Em x=(5-\sqrt7)/6\approx0,3924 temos
V''\bigl(0,3924\bigr)=-20+24\cdot0,3924<0,
logo é ponto de máximo.

Resposta

O lado do quadrado que maximiza o volume é
x=\frac{5-\sqrt7}{6}\,\mathrm{dm}.

Exercícios relacionados