Dado um triângulo isósceles de base
e altura
, inscreve-se nele um outro triângulo isósceles com base paralela à base do primeiro e vértice no
seu ponto médio. Quais as medidas do triângulo de área máxima inscrito desta forma?
seu ponto médio. Quais as medidas do triângulo de área máxima inscrito desta forma?
Passo 1
O enunciado dá um triângulo isósceles de base
e altura
. Nele vamos inscrever outro triângulo isósceles de base paralela à do original e com vértice no ponto médio da base maior. Para resolver, usaremos semelhança de triângulos para relacionar a base do inscrito à sua altura medida a partir da base do original, e depois aplicaremos cálculo de otimização para maximizar a área.
Passo 2
Seja
a distância vertical do vértice do triângulo inscrito (que está no meio da base do original) até a sua própria base. Essa base fica num segmento horizontal ao longo dos lados do triângulo maior. Por semelhança com o triângulo original, a largura desse segmento a uma altura
acima da base do original é
Passo 3
A área do triângulo inscrito em função de
é
Passo 4
Para achar o máximo, derivamos
e igualamos a zero:
Como a parábola abre para baixo, esse ponto é um máximo.
Passo 5
Substituindo
em
, obtemos
Logo, o triângulo inscrito de área máxima tem altura
e base
.
Resposta
A base do triângulo inscrito de área máxima é
e sua altura é
.