Dado um triângulo isósceles de base b e altura h, inscreve-se nele um outro triângulo isósceles com base paralela à base do primeiro e vértice no
seu ponto médio. Quais as medidas do triângulo de área máxima inscrito desta forma?

Passo 1

O enunciado dá um triângulo isósceles de base b e altura h. Nele vamos inscrever outro triângulo isósceles de base paralela à do original e com vértice no ponto médio da base maior. Para resolver, usaremos semelhança de triângulos para relacionar a base do inscrito à sua altura medida a partir da base do original, e depois aplicaremos cálculo de otimização para maximizar a área.

Passo 2

Seja t a distância vertical do vértice do triângulo inscrito (que está no meio da base do original) até a sua própria base. Essa base fica num segmento horizontal ao longo dos lados do triângulo maior. Por semelhança com o triângulo original, a largura desse segmento a uma altura t acima da base do original é
b_{\rm inscrito}(t) \;=\; b\;\bigl(1 - \tfrac{t}{h}\bigr).

Passo 3

A área do triângulo inscrito em função de t é
A(t)\;=\;\tfrac12 \,\bigl[\;b_{\rm inscrito}(t)\bigr]\;t \;=\;\tfrac12\,b\,\bigl(1 - \tfrac{t}{h}\bigr)\,t \;=\;\tfrac{b}{2}\,\Bigl(t - \tfrac{t^2}{h}\Bigr).

Passo 4

Para achar o máximo, derivamos A(t) e igualamos a zero:
A'(t)\;=\;\tfrac{b}{2}\,\Bigl(1 - \tfrac{2t}{h}\Bigr) \;\;\Longrightarrow\;\; 1 - \tfrac{2t}{h}=0 \;\;\Longrightarrow\;\; t = \tfrac{h}{2}.
Como a parábola abre para baixo, esse ponto é um máximo.

Passo 5

Substituindo t=\tfrac h2 em b_{\rm inscrito}(t), obtemos
b_{\rm inscrito}\bigl(\tfrac{h}{2}\bigr) = b\;\bigl(1 - \tfrac{1}{2}\bigr) = \tfrac{b}{2}.
Logo, o triângulo inscrito de área máxima tem altura t=\tfrac h2 e base \tfrac b2.

Resposta

A base do triângulo inscrito de área máxima é \tfrac b2 e sua altura é \tfrac h2.

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