Determinar os pontos da curva y=\sqrt{x} mais próximos do ponto ( c, 0 ) se: (a) c \geqslant 1 / 2; (b) c<1 / 2.

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos da curva y=\sqrt{x}, com x\ge0, que ficam mais próximos do ponto (c,0). O conteúdo principal é otimização (mínimo de função), e vamos usar a ideia de minimizar a distância ao quadrado entre (x,\sqrt{x}) e (c,0), calculando derivada e analisando fronteiras de domínio.

Passo 2

Definimos a distância ao quadrado de um ponto genérico (x,\sqrt{x}) até (c,0) como
D^2(x) = (x-c)^2 + \bigl(\sqrt{x}-0\bigr)^2 = (x-c)^2 + x.
Minimizar D^2(x) é equivalente a minimizar a distância, e é mais simples por não envolver raiz.

Passo 3

Calculamos a derivada de D^2(x) em relação a x:
\frac{d}{dx}D^2(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x^2 -2cx + c^2 + x\bigr) = 2x -2c +1.
Igualando a zero para encontrar candidato a mínimo:
2x -2c +1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = c - \tfrac12.

Passo 4

O domínio da curva é x\ge0. Então:
  • Se c - \tfrac12 \ge0, ou seja c \ge \tfrac12, o ponto crítico x = c - \tfrac12 pertence ao domínio. Como \frac{d^2}{dx^2}D^2(x)=2>0, esse ponto é mínimo global.
  • Se c - \tfrac12 < 0, ou seja c < \tfrac12, o ponto crítico cai fora de x\ge0, e o mínimo ocorre na fronteira x=0.

Passo 5

Extraímos então os pontos correspondentes:
  • Caso c \ge \tfrac12: o ponto de mínimo é
\bigl(x,y\bigr) = \bigl(c-\tfrac12,\;\sqrt{\,c-\tfrac12\,}\bigr).
  • Caso c < \tfrac12: o mínimo ocorre em x=0, ou seja
\bigl(x,y\bigr) = (0,0).

Resposta

Para c \ge \tfrac12, o ponto da curva mais próximo de (c,0) é
\bigl(c-\tfrac12,\;\sqrt{c-\tfrac12}\bigr).
Para c<\tfrac12, o ponto da curva mais próximo de (c,0) é
(0,0).

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