Determinar os pontos da curva
mais próximos do ponto (
) se: (a)
; (b)
.
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos da curva
, com
, que ficam mais próximos do ponto
. O conteúdo principal é otimização (mínimo de função), e vamos usar a ideia de minimizar a distância ao quadrado entre
e
, calculando derivada e analisando fronteiras de domínio.
Passo 2
Definimos a distância ao quadrado de um ponto genérico
até
como
Minimizar
é equivalente a minimizar a distância, e é mais simples por não envolver raiz.
Passo 3
Calculamos a derivada de
em relação a
:
Igualando a zero para encontrar candidato a mínimo:
Passo 4
O domínio da curva é
. Então:
- Se
, ou seja , o ponto crítico pertence ao domínio. Como , esse ponto é mínimo global. - Se
, ou seja , o ponto crítico cai fora de , e o mínimo ocorre na fronteira .
Passo 5
Extraímos então os pontos correspondentes:
- Caso
: o ponto de mínimo é
- Caso
: o mínimo ocorre em , ou seja
Resposta
Para
, o ponto da curva mais próximo de
é
Para
, o ponto da curva mais próximo de
é