Encontre a diferencial das funções.
f(x)=x^{4}-2

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pedido: encontrar a diferencial da função.
  • Dado: a função f(x)=x^{4}-2.
    Não vamos resolver ainda; apenas ficou claro que queremos a diferencial df associada a f.

Passo 2

O que é a diferencial e como ela se relaciona com a derivada (explicação didática):
  • A diferencial de uma função f em uma variável é dada por
df=f'(x)\,dx,
onde:
  • f'(x) é a derivada de f em relação a x (ou seja, a taxa de variação instantânea de f);
  • dx representa um pequeno incremento na variável x;
  • df é a aproximação linear do incremento da função quando x muda de x para x+dx: \Delta f\approx df.
  • Então, para obter df basta calcular f'(x) e multiplicar por dx.

Passo 3

Cálculo da derivada f'(x) usando a definição de derivada (passo a passo, sem pular etapas):
  • A definição de derivada é
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
  • Aplicando a função f(x)=x^{4}-2:
f(x+h)=(x+h)^{4}-2.
  • Substituindo na definição:
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{4}-2-(x^{4}-2)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{4}-x^{4}}{h}.
  • Expandindo (x+h)^{4} (uso do binômio de Newton):
(x+h)^{4}=x^{4}+4x^{3}h+6x^{2}h^{2}+4x h^{3}+h^{4}.
  • Substituindo a expansão:
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{x^{4}+4x^{3}h+6x^{2}h^{2}+4x h^{3}+h^{4}-x^{4}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{4x^{3}h+6x^{2}h^{2}+4x h^{3}+h^{4}}{h}.
  • Fatorando h no numerador e simplificando:
f'(x)=\lim_{h\to0}\left(4x^{3}+6x^{2}h+4x h^{2}+h^{3}\right).
  • Tomando o limite quando h\to0, os termos que têm h vão a zero:
f'(x)=4x^{3}.

Passo 4

Obter a diferencial e interpretar com exemplo numérico:
  • Usando a relação df=f'(x)\,dx, substituímos f'(x)=4x^{3}:
df=4x^{3}\,dx.
  • Interpretação rápida e exemplo: isso diz que, para um pequeno incremento dx em x, o incremento aproximado em f é df=4x^{3}\,dx. Por exemplo, se x=1 e dx=0,01, então
df=4\cdot 1^{3}\cdot 0,01=0,04,
ou seja, f aumenta aproximadamente 0,04.

Resposta

df=4x^{3}\,dx

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