Encontre a diferencial das funções.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pedido: encontrar a diferencial da função.
- Dado: a função
.
Não vamos resolver ainda; apenas ficou claro que queremos a diferencialassociada a .
Passo 2
O que é a diferencial e como ela se relaciona com a derivada (explicação didática):
- A diferencial de uma função
em uma variável é dada por
onde:
-
é a derivada de em relação a (ou seja, a taxa de variação instantânea de ); -
representa um pequeno incremento na variável ; -
é a aproximação linear do incremento da função quando muda de para : . - Então, para obter
basta calcular e multiplicar por .
Passo 3
Cálculo da derivada
usando a definição de derivada (passo a passo, sem pular etapas):
- A definição de derivada é
- Aplicando a função
:
- Substituindo na definição:
- Expandindo
(uso do binômio de Newton):
- Substituindo a expansão:
- Fatorando
no numerador e simplificando:
- Tomando o limite quando
, os termos que têm vão a zero:
Passo 4
Obter a diferencial e interpretar com exemplo numérico:
- Usando a relação
, substituímos :
- Interpretação rápida e exemplo: isso diz que, para um pequeno incremento
em , o incremento aproximado em é . Por exemplo, se e , então
ou seja,
aumenta aproximadamente
.