Dada a equação:
(3 y+a cos y) d x+(b x-sin y) d y=0
(a) Encontre os valores de a e b para os quais a equação é exata.
(b) Resolva a equação substituindo os valores de a e b obtidos.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(3y + acos y),dx + (b x - sin y),dy = 0
e pede (a) os valores de a e b que tornam essa equação exata e (b) a solução geral no caso exato. Para uma equação na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
ela é exata se existir uma função phi(x,y) tal que partialphi/partial x = M e partialphi/partial y = N. A condição de exatidão é
partial Mpartial y ;=;partial Npartial x

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=3y + acos y, N(x,y)=b x - sin y
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y =3 - asin y, partial Npartial x = b

Passo 3

Para ser exata precisamos de
3 - asin y = b
para todo y. Como o termo -asin y varia com y, a única forma de tornar isso constante é anular o coeficiente de sin y, ou seja a=0. Então sobra
3 = b
Logo
a=0, b=3

Passo 4

Substituindo a=0 e b=3, a equação vira
3y,dx + (3x - sin y),dy = 0,
que é exata. Logo existe phi(x,y) com
partial phipartial x=3y
Integramos em x:
phi(x,y)=integral 3y,dx = 3xy + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 5

Agora exigimos
partial phipartial y =3x + h'(y) ;overset!=; N(x,y)=3x - sin y
Portanto
h'(y)=-sin y Longrightarrow h(y)=integral -sin y,dy = cos y
Assim
phi(x,y)=3xy + cos y

Passo 6

A solução geral é dada implicitamente por
phi(x,y)=C Longrightarrow 3xy + cos y = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

(a) a=0, b=3.
(b) Solução geral: 3xy + cos y = C.

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