Dada a equação:
(a) Encontre os valores de
e
para os quais a equação é exata.
(b) Resolva a equação substituindo os valores de
e
obtidos.
(b) Resolva a equação substituindo os valores de
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede (a) os valores de
e
que tornam essa equação exata e (b) a solução geral no caso exato. Para uma equação na forma
ela é exata se existir uma função
tal que
e
. A condição de exatidão é
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 3
Para ser exata precisamos de
para todo
. Como o termo
varia com
, a única forma de tornar isso constante é anular o coeficiente de
, ou seja
. Então sobra
Logo
Passo 4
Substituindo
e
, a equação vira
que é exata. Logo existe
com
Integramos em
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 5
Agora exigimos
Portanto
Assim
Passo 6
A solução geral é dada implicitamente por
onde
é constante arbitrária.
Resposta
(a)
,
.
(b) Solução geral: .
(b) Solução geral: