Encontre um fator integrante e resolva a equação:
e^x+(e^x cot y+2 y csc y) d yd x=0, y(0)=pi2

Passo 1

Temos a equação diferencial
e^x+l(e^xcot y+2ycsc yr)dydx=0,
com condição inicial y(0)=tfracpi2. Trata-se de uma equação na forma
M(x,y),dx+N(x,y),dy=0,
onde
M(x,y)=e^x, N(x,y)=e^xcot y+2ycsc y
O objetivo é achar um fator integrante mu (dependendo só de y) que torne a equação exata, para então encontrar a solução geral e impor a condição inicial.

Passo 2

Verificamos se já é exata calculando
partial Mpartial y=0, partial Npartial x=e^xcot y
Como partial M/partial yneqpartial N/partial x, não é exata. Procuramos mu(y) tal que
1Ml(partial Npartial x-partial Mpartial yr)
seja função só de y. De fato,
partial Npartial x-partial Mpartial yM =e^xcot ye^x =cot y,
que depende apenas de y. Logo existe mu=mu(y).

Passo 3

O fator integrante satisfaz
dmudy=mu;cot y Longrightarrow dmumu=cot y,dy Longrightarrow mu(y)=exp!l(!integralcot y,dyr) =exp(ln|sin y|)=sin y

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(y)=sin y:
e^xsin y,dx+l(e^xcot y+2ycsc yr)sin y,dy=0 ;Longrightarrow; e^xsin y,dx+l(e^xcos y+2yr),dy=0
Agora, definindo
M^*(x,y)=e^xsin y, N^*(x,y)=e^xcos y+2y,
vemos que
partial M^*partial y=e^xcos y, partial N^*partial x=e^xcos y,
ou seja, a equação é exata.

Passo 5

Buscamos Psi(x,y) tal que
Psix=M^* e Psiy=N^*.
Integramos M^* em relação a x:
Psi(x,y)=integral e^xsin y,dx =e^xsin y +h(y)
Derivando em y e igualando a N^*:
Psiy=e^xcos y +h'(y)=e^xcos y+2y Longrightarrow h'(y)=2y Longrightarrow h(y)=y^2
Logo, a solução implícita é
Psi(x,y)=e^xsin y +y^2=C

Passo 6

Impondo a condição inicial y(0)=tfracpi2:
e^0sin!l(tfracpi2r)+l(tfracpi2r)^2 =1+ pi^24 =C
Portanto a solução que satisfaz y(0)=tfracpi2 vem dada implicitamente por
e^xsin y +y^2 =1+pi^24

Resposta

Fator integrante: mu(y)=sin y.
Solução implícita com y(0)=tfracpi2:
boxede^xsin y +y^2 =1+pi^24

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