Encontre um fator integrante e resolva a equação:
Passo 1
Temos a equação diferencial
com condição inicial
. Trata-se de uma equação na forma
onde
O objetivo é achar um fator integrante
(dependendo só de
) que torne a equação exata, para então encontrar a solução geral e impor a condição inicial.
Passo 2
Verificamos se já é exata calculando
Como
, não é exata. Procuramos
tal que
seja função só de
. De fato,
que depende apenas de
. Logo existe
.
Passo 3
O fator integrante satisfaz
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
Agora, definindo
vemos que
ou seja, a equação é exata.
Passo 5
Buscamos
tal que
e
.
Integramos em relação a
:
Integramos
Derivando em
e igualando a
:
Logo, a solução implícita é
Passo 6
Impondo a condição inicial
:
Portanto a solução que satisfaz
vem dada implicitamente por
Resposta
Fator integrante:
.
Solução implícita com :
Solução implícita com