Encontre um fator integrante e resolva a equação:
Passo 1
O enunciado nos dá uma equação diferencial de primeira ordem na forma
com
e pede para encontrar um fator integrante e resolver a equação. Vamos usar o conceito de exatidão de uma equação diferencial e buscar um fator integrante que dependa somente de
.
Passo 2
Testamos se a equação é exata calculando as derivadas parciais
Como
em geral, a equação não é exata, e precisamos de um fator integrante
tal que
Passo 3
Para
a condição de exatidão vira
Substituindo,
Logo
Passo 4
Multiplicando a equação original por
obtemos
que agora é exata, pois
Passo 5
Procuramos uma função potencial
tal que
Como
, temos
Impondo
dá
e
é constante.
Resposta
A solução geral implícita é
com fator integrante
.