Encontre um fator integrante e resolva a equação:
(x+2) sin y d x+x cos y d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação diferencial de primeira ordem na forma
M(x,y),dx+N(x,y),dy=0
com
M(x,y)=(x+2)sin y, N(x,y)=xcos y,
e pede para encontrar um fator integrante e resolver a equação. Vamos usar o conceito de exatidão de uma equação diferencial e buscar um fator integrante que dependa somente de x.

Passo 2

Testamos se a equação é exata calculando as derivadas parciais
partial Mpartial y=(x+2)cos y, partial Npartial x=cos y
Como (x+2)cos yneqcos y em geral, a equação não é exata, e precisamos de um fator integrante mu(x) tal que
partialpartial yl(mu Mr) = partialpartial xl(mu Nr)

Passo 3

Para mu=mu(x) a condição de exatidão vira
mu'(x),N+mu,partial Npartial x = mu,partial Mpartial y
Substituindo,
mu',xcos y+mucos y =mu,(x+2)cos y ;Longrightarrow; mu',x=mu(x+1)
Logo
mu'mu=x+1x Longrightarrow lnmu=integrall(1+1xr),dx =x+ln|x|+C ;Longrightarrow; mu(x)=x,e^x

Passo 4

Multiplicando a equação original por mu(x)=x e^x obtemos
M^*=x e^x(x+2)sin y, N^*=x e^xcdot xcos y=x^2 e^xcos y,
que agora é exata, pois
partial M^*partial y =(x+2)x e^xcos y, partial N^*partial x =2x e^xcos y + x^2 e^xcos y =(x+2)x e^xcos y

Passo 5

Procuramos uma função potencial Phi(x,y) tal que
partialPhipartial x=M^* ;Longrightarrow; Phi(x,y)=integral x e^x(x+2)sin y,dx =sin yintegral(x^2+2x)e^x,dx
Como ddxl(x^2e^xr)=(x^2+2x)e^x, temos
Phi(x,y)=x^2e^xsin y + h(y)
Impondo partialPhi/partial y=N^*
x^2e^xcos y + h'(y)=x^2e^xcos y ;Longrightarrow; h'(y)=0
e h(y) é constante.

Resposta

A solução geral implícita é
x^2e^xsin y=C,
com fator integrante mu(x)=x,e^x.

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