Dada as equações abaixo que é uma cônica que tem um foco no pólo, desta forma determine:
a) Excentricidade.
b) Identifique a Cônica.
c) Escreva a equação da reta diretriz.
d) Traçe um gráfico da Curva.
a) Excentricidade.
b) Identifique a Cônica.
c) Escreva a equação da reta diretriz.
d) Traçe um gráfico da Curva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação polar de uma cônica:
Vamos resolver quatro partes: a excentricidade, identificar qual é a cônica, encontrar a equação da reta diretriz e, por fim, traçar o gráfico da curva. Para isso, vamos usar conceitos de cônicas em coordenadas polares, como excentricidade (
), distância focal e as formas padrões das equações.
Passo 2
a) Excentricidade
Primeiro, precisamos encontrar a excentricidade da cônica. A equação geral de uma cônica em coordenadas polares com um foco na origem é:
Comparando com a equação dada:
Vamos rearranjar para ficar no mesmo formato:
Agora, fica claro que:
Então, a excentricidade
é:
Passo 3
b) Identifique a Cônica
A excentricidade nos diz qual tipo de cônica estamos lidando:
- Se
: Elipse - Se
: Parábola - Se
: Hipérbole
Como encontramos
(que é menor que 1), a cônica é uma elipse.
Passo 4
c) Escreva a Equação da Reta Diretriz
Para encontrar a reta diretriz de uma elipse em coordenadas polares, usamos a relação:
No nosso caso, já identificamos que
e
. A distância da diretriz
pode ser encontrada por:
Sabemos que:
Assim, a equação da reta diretriz, que está paralela ao eixo polar (eixo
), é:
Passo 5
d) Trace um Gráfico da Curva
Para traçar o gráfico da elipse dada pela equação:
Podemos identificar os principais elementos:
- Foco na origem (pólo)
- Excentricidade
- Diretriz em
- Semi-eixo maior
e semi-eixo menor
Usando essas informações, plotamos pontos para diferentes valores de
e conectamos para formar a elipse. A elipse estará alongada ao longo do eixo
devido ao termo
na equação.
Resposta
a) A excentricidade é
.
b) A cônica é uma elipse.
c) A equação da reta diretriz é
.
d) O gráfico da curva é uma elipse com foco na origem, direcionada ao longo do eixo
.