Dada as equações abaixo que é uma cônica que tem um foco no pólo, desta forma determine:
a) Excentricidade.
b) Identifique a Cônica.
c) Escreva a equação da reta diretriz.
d) Traçe um gráfico da Curva.
r=165-3 cdot cos (theta)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação polar de uma cônica:
r = 165 - 3 cdot cos(theta)
Vamos resolver quatro partes: a excentricidade, identificar qual é a cônica, encontrar a equação da reta diretriz e, por fim, traçar o gráfico da curva. Para isso, vamos usar conceitos de cônicas em coordenadas polares, como excentricidade ( e), distância focal e as formas padrões das equações.

Passo 2

a) Excentricidade
Primeiro, precisamos encontrar a excentricidade da cônica. A equação geral de uma cônica em coordenadas polares com um foco na origem é:
r = ed1 + e cos(theta)
Comparando com a equação dada:
r = 165 - 3 cdot cos(theta)
Vamos rearranjar para ficar no mesmo formato:
r = 165 - 3 cos(theta) = 165 (1 - 35 cos(theta)) = 1651 - 35 cos(theta)
Agora, fica claro que:
ed = 165
e = 35
Então, a excentricidade e é:
e = 0,6

Passo 3

b) Identifique a Cônica
A excentricidade nos diz qual tipo de cônica estamos lidando:
  • Se e < 1: Elipse
  • Se e = 1: Parábola
  • Se e > 1: Hipérbole
Como encontramos e = 0,6 (que é menor que 1), a cônica é uma elipse.

Passo 4

c) Escreva a Equação da Reta Diretriz
Para encontrar a reta diretriz de uma elipse em coordenadas polares, usamos a relação:
d = ed1 + e cos(theta)
No nosso caso, já identificamos que ed = 165 e e = 0,6. A distância da diretriz D pode ser encontrada por:
D = ede = d
Sabemos que:
d = 165e = 165 times 0,6 = 163 approx 5,33
Assim, a equação da reta diretriz, que está paralela ao eixo polar (eixo x), é:
x = 163

Passo 5

d) Trace um Gráfico da Curva
Para traçar o gráfico da elipse dada pela equação:
r = 165 - 3 cdot cos(theta)
Podemos identificar os principais elementos:
  • Foco na origem (pólo)
  • Excentricidade e = 0,6
  • Diretriz em x = 163
  • Semi-eixo maior a e semi-eixo menor b
Usando essas informações, plotamos pontos para diferentes valores de theta e conectamos para formar a elipse. A elipse estará alongada ao longo do eixo x devido ao termo cos(theta) na equação.

Resposta

a) A excentricidade é e = 0,6 .
b) A cônica é uma elipse.
c) A equação da reta diretriz é x = 163 .
d) O gráfico da curva é uma elipse com foco na origem, direcionada ao longo do eixo x.

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