Use a integração por partes para resolver as integrais abaixo.
integral(x^2+2 x) cos x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral(x^2+2 x) cos x , dx usando a técnica de integração por partes. Essa é uma ferramenta muito útil quando temos produtos de funções, como neste caso, onde multiplicamos um polinômio por uma função trigonométrica. Para isso, precisamos escolher quais partes da nossa expressão vão ser u e dv, que são os componentes principais da fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos identificar o que será nosso u e o que será dv. A escolha adequada facilita a resolução da integral.

Passo 3

Vamos escolher:
u = x^2 + 2x
Então, derivando u em relação a x, encontramos du:
du = (2x + 2) , dx
E o restante será dv:
dv = cos x , dx
Integrando dv para encontrar v:
v = integral cos x , dx = sin x

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula de integração por partes:
integral (x^2 + 2x) cos x , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= (x^2 + 2x) cdot sin x - integral sin x cdot (2x + 2) , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral integral (2x + 2) sin x , dx. Vamos aplicar novamente a integração por partes para essa integral.
Escolhendo:
u1 = 2x + 2
Derivando u1:
du1 = 2 , dx
E o restante será dv1:
dv1 = sin x , dx
Integrando dv1:
v1 = -cos x

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
integral (2x + 2) sin x , dx = u1 cdot v1 - integral v1 cdot du1
Substituindo os valores:
= (2x + 2)(-cos x) - integral (-cos x)(2) , dx
Simplificando:
= -(2x + 2) cos x + 2 integral cos x , dx
Integrando cos x:
= -(2x + 2) cos x + 2 sin x + C

Passo 7

Voltando à nossa expressão original, substituímos a integral que acabamos de resolver:
integral (x^2 + 2x) cos x , dx = (x^2 + 2x) sin x - [ -(2x + 2) cos x + 2 sin x ] + C
Distribuindo o sinal negativo:
= (x^2 + 2x) sin x + (2x + 2) cos x - 2 sin x + C

Resposta

Portanto, a integral resolvida é:
integral(x^2+2 x) cos x , dx = (x^2+2x-2) sin x + (2x+2) cos x + C
Onde C é a constante de integração.

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