Use a integração por partes para resolver as integrais abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando a técnica de integração por partes. Essa é uma ferramenta muito útil quando temos produtos de funções, como neste caso, onde multiplicamos um polinômio por uma função trigonométrica. Para isso, precisamos escolher quais partes da nossa expressão vão ser
e
, que são os componentes principais da fórmula de integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos identificar o que será nosso
e o que será
. A escolha adequada facilita a resolução da integral.
Passo 3
Vamos escolher:
Então, derivando
em relação a
, encontramos
:
E o restante será
:
Integrando
para encontrar
:
Passo 4
Agora, aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a nova integral
. Vamos aplicar novamente a integração por partes para essa integral.
Escolhendo:
Derivando
:
E o restante será
:
Integrando
:
Passo 6
Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Integrando
:
Passo 7
Voltando à nossa expressão original, substituímos a integral que acabamos de resolver:
Distribuindo o sinal negativo:
Resposta
Portanto, a integral resolvida é:
Onde
é a constante de integração.