Dada as equações abaixo que é uma cônica que tem um foco no pólo, desta forma determine:
a) Excentricidade.
b) Identifique a Cônica.
c) Escreva a equação da reta diretriz.
d) Traçe um gráfico da Curva.
r=61-2 cdot sen(theta)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação que representa uma cônica no formato polar: r = 61 - 2 cdot sin(theta) . Nosso objetivo é descobrir a excentricidade, identificar que tipo de cônica é, encontrar a equação da reta diretriz e, por fim, desenhar o gráfico dessa curva. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre cônicas em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a forma geral da equação de uma cônica em coordenadas polares com um foco na origem (pólo):
r = ed1 + e cdot cos(theta - theta0)
Onde:
  • e é a excentricidade,
  • d é a distância da diretriz ao pólo,
  • theta0 é o ângulo que define a direção da cônica.
No nosso caso, a equação é r = 61 - 2 cdot sin(theta) . Comparando com a forma geral, vemos que o denominador tem um sinal negativo e envolve o seno de theta , indicando que a diretriz está inclinada em relação ao eixo.

Passo 3

Vamos identificar a excentricidade ( e ). Na forma geral, o coeficiente de cos(theta) ou sin(theta) no denominador é a excentricidade e . No nosso caso, o denominador é 1 - 2 cdot sin(theta) , então:
e = 2

Passo 4

Com a excentricidade em mãos, vamos identificar que tipo de cônica estamos lidando. Sabemos que:
  • Se e = 0 , é um círculo.
  • Se 0 < e < 1 , é uma elipse.
  • Se e = 1 , é uma parábola.
  • Se e > 1 , é uma hipérbole.
Aqui, e = 2 , que é maior que 1. Então, a cônica é uma hipérbole.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a equação da reta diretriz. Sabemos que na forma geral:
r = ed1 + e cdot sin(theta)
Comparando com a nossa equação r = 61 - 2 cdot sin(theta) , temos:
ed = 6 e e = 2
Então,
d = 62 = 3
A diretriz está relacionada à posição da cônica. No caso da hipérbole com a equação dada, a diretriz é uma reta paralela ao eixo principal. Como o termo envolve sin(theta) , a diretriz será uma reta horizontal. A equação da diretriz é:
y = d Rightarrow y = 3

Passo 6

Por fim, vamos traçar o gráfico da hipérbole definida pela equação r = 61 - 2 cdot sin(theta) . Para isso, entendemos que a hipérbole terá dois ramos, simétricos em relação à diretriz y = 3 e com um foco no pólo.
Como é uma representação polar, o gráfico mostrará uma curva que se afasta do pólo conforme theta varia, refletindo a natureza da hipérbole.

Resposta

a) Excentricidade: e = 2
b) Cônica Identificada: Hipérbole
c) Equação da Reta Diretriz: y = 3
d) Gráfico da Curva: [Aqui você desenharia a hipérbole no sistema de coordenadas, mostrando os dois ramos simétricos em relação à reta y = 3 e o foco no pólo.]

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