Dada as equações abaixo que é uma cônica que tem um foco no pólo, desta forma determine:
a) Excentricidade.
b) Identifique a Cônica.
c) Escreva a equação da reta diretriz.
d) Traçe um gráfico da Curva.
a) Excentricidade.
b) Identifique a Cônica.
c) Escreva a equação da reta diretriz.
d) Traçe um gráfico da Curva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação que representa uma cônica no formato polar:
. Nosso objetivo é descobrir a excentricidade, identificar que tipo de cônica é, encontrar a equação da reta diretriz e, por fim, desenhar o gráfico dessa curva. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre cônicas em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a forma geral da equação de uma cônica em coordenadas polares com um foco na origem (pólo):
Onde:
-
é a excentricidade, -
é a distância da diretriz ao pólo, -
é o ângulo que define a direção da cônica.
No nosso caso, a equação é
. Comparando com a forma geral, vemos que o denominador tem um sinal negativo e envolve o seno de
, indicando que a diretriz está inclinada em relação ao eixo.
Passo 3
Vamos identificar a excentricidade (
). Na forma geral, o coeficiente de
ou
no denominador é a excentricidade
. No nosso caso, o denominador é
, então:
Passo 4
Com a excentricidade em mãos, vamos identificar que tipo de cônica estamos lidando. Sabemos que:
- Se
, é um círculo. - Se
, é uma elipse. - Se
, é uma parábola. - Se
, é uma hipérbole.
Aqui,
, que é maior que 1. Então, a cônica é uma hipérbole.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a equação da reta diretriz. Sabemos que na forma geral:
Comparando com a nossa equação
, temos:
Então,
A diretriz está relacionada à posição da cônica. No caso da hipérbole com a equação dada, a diretriz é uma reta paralela ao eixo principal. Como o termo envolve
, a diretriz será uma reta horizontal. A equação da diretriz é:
Passo 6
Por fim, vamos traçar o gráfico da hipérbole definida pela equação
. Para isso, entendemos que a hipérbole terá dois ramos, simétricos em relação à diretriz
e com um foco no pólo.
Como é uma representação polar, o gráfico mostrará uma curva que se afasta do pólo conforme
varia, refletindo a natureza da hipérbole.
Resposta
a) Excentricidade:
b) Cônica Identificada: Hipérbole
c) Equação da Reta Diretriz:
d) Gráfico da Curva: [Aqui você desenharia a hipérbole no sistema de coordenadas, mostrando os dois ramos simétricos em relação à reta
e o foco no pólo.]