lim y pi^-2 sen y-1cos y converge?

Passo 1

O enunciado pede o limite
limytopi^-2sin y - 1cos y
quando y se aproxima de tfracpi2 pela esquerda. Vamos usar teoria de limites que, neste caso, sugere reconhecer uma forma indeterminada 0/0 e aplicar a Regra de l’Hôpital.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada substituindo diretamente y=tfracpi2:
sinl(tfracpi2r)=1 e cosl(tfracpi2r)=0, logo
sin y - 1cos y|y=tfracpi2 =1-10=00,
que é indeterminado, permitindo o uso da Regra de l’Hôpital.

Passo 3

Aplicamos a Regra de l’Hôpital, derivando numerador e denominador em relação a y:
  • Derivada de sin y - 1 é cos y.
  • Derivada de cos y é -sin y.
    Portanto
limytopi2sin y - 1cos y =limytopi2cos y-sin y

Passo 4

Agora basta avaliar o limite da fração simplificada no ponto y=tfracpi2:
cosl(tfracpi2r)=0 e senl(tfracpi2r)=1, então
limytopi2cos y-sen y =-cosl(tfracpi2r)senl(tfracpi2r) =-01 =0

Resposta

O limite converge e vale 0.

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