A população de uma certa espécie em um ambiente limitado, com a população inicial igual a 100 e capacidade para comportar 1.000 indivíduos é P(t)=100.000100+900 e^-t com t medido em anos. O que ocorre quando t for “muito grande”?

Passo 1

O enunciado descreve um modelo logístico de crescimento populacional dado por
P(t)=100000100+900,e^-t
com P(0)=100 e capacidade de suporte igual a 1000 indivíduos. Precisamos analisar o comportamento de P(t) quando t tende a “muito grande”, ou seja, ttoinfty.

Passo 2

Para facilitar a análise, notamos que
P(t)=100000100+900,e^-t =10001+9,e^-t
bastando dividir numerador e denominador por 100.

Passo 3

Quando ttoinfty, temos e^-tto 0. Assim, no denominador de
P(t)=10001+9,e^-t
o termo 9,e^-t desaparece, ficando
limttoinftyP(t) =10001+0 =1000

Passo 4

Fisicamente isso significa que, à medida que o tempo cresce muito, a população se aproxima assintoticamente da capacidade de suporte do ambiente, isto é, de 1000 indivíduos.

Resposta

Quando t for muito grande, P(t) aproxima-se de 1000 indivíduos.

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