Dada as equações abaixo que é uma cônica que tem um foco no pólo, desta forma determine:
a) Excentricidade.
b) Identifique a Cônica.
c) Escreva a equação da reta diretriz.
d) Traçe um gráfico da Curva.
a) Excentricidade.
b) Identifique a Cônica.
c) Escreva a equação da reta diretriz.
d) Traçe um gráfico da Curva.
Passo 1
O enunciado dá a curva em coordenadas polares
que é uma cônica com foco no polo. Pedem:
a) excentricidade; b) que tipo de cônica; c) equação da reta diretriz; d) esboço do gráfico.
a) excentricidade; b) que tipo de cônica; c) equação da reta diretriz; d) esboço do gráfico.
Passo 2
Comparemos com a forma padrão de cônica polar com foco na origem
onde
é a excentricidade e
é a distância do foco à diretriz.
Passo 3
Na nossa equação o numerador vale
, o coeficiente de
no denominador é
.
Logo
Logo
Passo 4
Como
, trata-se de uma hipérbole.
Passo 5
Para encontrar a diretriz note que, no caso do sinal “
”, a reta é
Passo 6
Esboço do gráfico em coordenadas cartesianas e polares:
. O foco está em
.
. A diretriz é a linha horizontal
(tracejada).
. Assíntotas polares ocorrem quando
, isto é
, em
e
.
. Alguns pontos notáveis:
-
: . -
: . -
: . -
: .
. Ligando esses pontos e aproximando-se das assíntotas forma-se o ramo superior da hipérbole; há um ramo “oculto” correspondente a .
Esboço (vista aproximada):
Resposta
(a)
(b) hipérbole
(c)
(d) gráfico conforme esboçado acima
(b) hipérbole
(c)
(d) gráfico conforme esboçado acima