Dada as equações abaixo que é uma cônica que tem um foco no pólo, desta forma determine:
a) Excentricidade.
b) Identifique a Cônica.
c) Escreva a equação da reta diretriz.
d) Traçe um gráfico da Curva.
r=11+2 cdot sen(theta)

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r = 11 + 2,sin(theta)
que é uma cônica com foco no polo. Pedem:
a) excentricidade; b) que tipo de cônica; c) equação da reta diretriz; d) esboço do gráfico.

Passo 2

Comparemos com a forma padrão de cônica polar com foco na origem
r = e,d1 + e,sintheta,
onde e é a excentricidade e d é a distância do foco à diretriz.

Passo 3

Na nossa equação o numerador vale 1, o coeficiente de sintheta no denominador é 2.
Logo
e = 2, e,d = 1 Longrightarrow d = 1e = 12

Passo 4

Como e=2>1, trata-se de uma hipérbole.

Passo 5

Para encontrar a diretriz note que, no caso do sinal “ +sintheta”, a reta é
y = -,d = -tfrac12

Passo 6

Esboço do gráfico em coordenadas cartesianas e polares:
1. O foco está em O=(0,0).
2. A diretriz é a linha horizontal y=-tfrac12 (tracejada).
3. Assíntotas polares ocorrem quando 1+2sintheta=0, isto é sintheta=-tfrac12, em theta=7pi6 e theta=11pi6.
4. Alguns pontos notáveis:
  • theta=0: r=11+0=1 to (1,0).
  • theta=pi6: r=11+2cdot12=12.
  • theta=pi2: r=13.
  • theta=5pi6: r=12.
    5. Ligando esses pontos e aproximando-se das assíntotas forma-se o ramo superior da hipérbole; há um ramo “oculto” correspondente a r<0.
Esboço (vista aproximada):
l | | | |ramo superior backslash | backslash | ------o---(+)------ x / | / | ' | | |---------- y = -12 (diretriz)

Resposta

(a) ;e=2
(b) hipérbole
(c) ;y=-tfrac12
(d) gráfico conforme esboçado acima

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