Expresse as equações abaixo, na forma da equação polar de uma cônica, identifique a cônica, determine então a sua excentricidade e a equação da reta diretriz.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente transformar a equação
na forma polar de uma cônica. Depois, precisamos identificar qual é a cônica, descobrir a excentricidade dela e encontrar a equação da reta diretriz. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre as cônicas e suas representações polares.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação dada para facilitar a identificação da cônica. A equação é
. Podemos colocar todos os termos de um lado:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para facilitar a identificação da cônica. Olhando para os termos que envolvem
:
Completemos o quadrado dentro dos parênteses:
Substituindo de volta:
Então, a equação fica:
Passo 4
Essa forma da equação nos indica que estamos lidando com uma hipérbole. Geralmente, a equação padrão de uma hipérbole centrada em
é:
No nosso caso, a equação está um pouco diferente, mas podemos ajustá-la para se parecer com a forma padrão. Vamos multiplicar ambos os lados por -1:
Agora está na forma padrão de uma hipérbole com centro em
, sendo abertos ao longo do eixo x.
Passo 5
Para converter essa equação para a forma polar, usamos a relação entre coordenadas cartesianas e polares:
Substituindo na equação da hipérbole:
Vamos simplificar isso:
Simplificando mais:
Usando a identidade trigonométrica
:
Passo 6
Vamos isolar
. Podemos fatorar um
:
Isso nos dá duas soluções:
(que é o ponto origin) ou:
Usando a identidade
:
Para simplificar, multiplicamos o numerador e denominador por 1, ficando assim:
Passo 7
Agora, identificamos a cônica e calculamos a excentricidade. Como já vimos, trata-se de uma hipérbole. A excentricidade
de uma hipérbole é dada por:
Na nossa equação padrão
, temos
e
, então:
Passo 8
Por fim, precisamos encontrar a equação da reta diretriz. Para a hipérbole, as diretrizes estão dadas por:
No nosso caso,
,
, e
:
Resposta
A equação polar da cônica é
. Identificamos que a cônica é uma hipérbole, sua excentricidade é
e as equações das retas diretriz são
e
.