Expresse as equações abaixo, na forma da equação polar de uma cônica, identifique a cônica, determine então a sua excentricidade e a equação da reta diretriz.
y^2=x^2-2 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente transformar a equação y^2 = x^2 - 2x na forma polar de uma cônica. Depois, precisamos identificar qual é a cônica, descobrir a excentricidade dela e encontrar a equação da reta diretriz. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre as cônicas e suas representações polares.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação dada para facilitar a identificação da cônica. A equação é y^2 = x^2 - 2x . Podemos colocar todos os termos de um lado:
y^2 - x^2 + 2x = 0

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para facilitar a identificação da cônica. Olhando para os termos que envolvem x :
-x^2 + 2x = -(x^2 - 2x)
Completemos o quadrado dentro dos parênteses:
x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1
Substituindo de volta:
-( (x - 1)^2 - 1 ) = -(x - 1)^2 + 1
Então, a equação fica:
y^2 - (x - 1)^2 + 1 = 0
y^2 - (x - 1)^2 = -1

Passo 4

Essa forma da equação nos indica que estamos lidando com uma hipérbole. Geralmente, a equação padrão de uma hipérbole centrada em (h, k) é:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
No nosso caso, a equação está um pouco diferente, mas podemos ajustá-la para se parecer com a forma padrão. Vamos multiplicar ambos os lados por -1:
(x - 1)^2 - y^2 = 1
Agora está na forma padrão de uma hipérbole com centro em (1, 0) , sendo abertos ao longo do eixo x.

Passo 5

Para converter essa equação para a forma polar, usamos a relação entre coordenadas cartesianas e polares:
x = r cos theta
y = r sin theta
Substituindo na equação da hipérbole:
(r cos theta - 1)^2 - (r sin theta)^2 = 1
Vamos simplificar isso:
r^2 cos^2 theta - 2 r cos theta + 1 - r^2 sin^2 theta = 1
Simplificando mais:
r^2 (cos^2 theta - sin^2 theta) - 2 r cos theta = 0
Usando a identidade trigonométrica cos^2 theta - sin^2 theta = cos 2theta :
r^2 cos 2theta - 2 r cos theta = 0

Passo 6

Vamos isolar r . Podemos fatorar um r :
r (r cos 2theta - 2 cos theta) = 0
Isso nos dá duas soluções: r = 0 (que é o ponto origin) ou:
r cos 2theta - 2 cos theta = 0
r = 2 cos thetacos 2theta
Usando a identidade cos 2theta = 2 cos^2 theta - 1 :
r = 2 cos theta2 cos^2 theta - 1
Para simplificar, multiplicamos o numerador e denominador por 1, ficando assim:
r = 2 cos theta2 cos^2 theta - 1

Passo 7

Agora, identificamos a cônica e calculamos a excentricidade. Como já vimos, trata-se de uma hipérbole. A excentricidade e de uma hipérbole é dada por:
e = raiz1 + b^2a^2
Na nossa equação padrão (x - 1)^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1 , temos a^2 = 1 e b^2 = 1 , então:
e = raiz1 + 11 = raiz2

Passo 8

Por fim, precisamos encontrar a equação da reta diretriz. Para a hipérbole, as diretrizes estão dadas por:
x = h pm ae
No nosso caso, h = 1 , a = 1 , e e = raiz2 :
x = 1 pm 1raiz2
x = 1 pm raiz22

Resposta

A equação polar da cônica é r = dfrac2 cos theta2 cos^2 theta - 1 . Identificamos que a cônica é uma hipérbole, sua excentricidade é e = raiz2 e as equações das retas diretriz são x = 1 + dfracraiz22 e x = 1 - dfracraiz22 .

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