1. Encontre o valor de m para que o plano \pi: 3 x-4 y+z+m=0 seja tangente à esfera S: x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+4 y-6 z+11=0.

Passo 1

O enunciado pede o valor de m para que o plano
\pi:3x - 4y + z + m = 0
seja tangente à esfera
S:x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+4y-6z+11=0.
Para que um plano seja tangente a uma esfera, a distância do centro da esfera ao plano deve ser igual ao raio da esfera.

Passo 2

Vamos encontrar o centro e o raio de S completando quadrados. Da equação
x^{2}-2x+y^{2}+4y+z^{2}-6z+11=0
extraímos:
x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1,\quad y^{2}+4y=(y+2)^{2}-4,\quad z^{2}-6z=(z-3)^{2}-9.
Substituindo na equação de S obtemos
(x-1)^{2}-1\;+\;(y+2)^{2}-4\;+\;(z-3)^{2}-9\;+\;11=0
\Longrightarrow (x-1)^{2}+(y+2)^{2}+(z-3)^{2}-3=0
\Longrightarrow (x-1)^{2}+(y+2)^{2}+(z-3)^{2}=3.
Logo, o centro é
C=(1,-2,3)
e o raio é
r=\sqrt{3}.

Passo 3

A distância de C=(1,-2,3) ao plano \pi é dada por
d=\frac{\bigl|3\cdot1-4\cdot(-2)+1\cdot3+m\bigr|}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}+1^{2}}} =\frac{\bigl|3+8+3+m\bigr|}{\sqrt{26}} =\frac{\lvert14+m\rvert}{\sqrt{26}}.

Passo 4

Impondo a condição de tangência d=r, temos
\frac{\lvert14+m\rvert}{\sqrt{26}}=\sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad \lvert14+m\rvert=\sqrt{78}.
Portanto
14+m=\pm\sqrt{78} \quad\Longrightarrow\quad m=-14\pm\sqrt{78}.

Resposta

m=-14+\sqrt{78} ou m=-14-\sqrt{78}.

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