Determine a posição relativa entre a esfera S:(x-1)^{2}+(y+2)^{2}+z^{2}=9 e a reta r:\left\{\begin{array}{l}x=2+t \\\ y=-1+2 t \\\ z=3-t\end{array}\right..
Passo 1
O enunciado pede a posição relativa entre a esfera
S: (x-1)^{2} + (y+2)^{2} + z^{2} = 9
e a reta
r:\begin{cases} x = 2 + t,\\\ y = -1 + 2t,\\\ z = 3 - t. \end{cases}
Aqui o conteúdo usado será a fórmula da distância de um ponto (o centro da esfera) a uma reta no espaço. Se essa distância for menor que o raio, a reta corta a esfera; igual, tangencia; maior, não intersecta.
Passo 2
Identificamos o centro da esfera e um ponto na reta, mais seu vetor diretor.
O centro é
C = (1,-2,0),
o ponto em t=0 na reta é
P_{0} = (2,-1,3),
e o vetor diretor é
\mathbf{u} = (1,2,-1).
Passo 3
Calculamos o vetor \overrightarrow{P_{0}C}:
\overrightarrow{P_{0}C} = C - P_{0} = (1-2,\,-2+1,\,0-3) = (-1,-1,-3).
Passo 4
A distância d do ponto C à reta vem de
d = \frac{\big\|\overrightarrow{P_{0}C}\times \mathbf{u}\big\|}{\|\mathbf{u}\|}.