Determine a posição relativa entre a esfera S:(x-1)^{2}+(y+2)^{2}+z^{2}=9 e a reta r:\left\{\begin{array}{l}x=2+t \\\ y=-1+2 t \\\ z=3-t\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado pede a posição relativa entre a esfera
S: (x-1)^{2} + (y+2)^{2} + z^{2} = 9
e a reta
r:\begin{cases} x = 2 + t,\\\ y = -1 + 2t,\\\ z = 3 - t. \end{cases}
Aqui o conteúdo usado será a fórmula da distância de um ponto (o centro da esfera) a uma reta no espaço. Se essa distância for menor que o raio, a reta corta a esfera; igual, tangencia; maior, não intersecta.

Passo 2

Identificamos o centro da esfera e um ponto na reta, mais seu vetor diretor.
O centro é
C = (1,-2,0),
o ponto em t=0 na reta é
P_{0} = (2,-1,3),
e o vetor diretor é
\mathbf{u} = (1,2,-1).

Passo 3

Calculamos o vetor \overrightarrow{P_{0}C}:
\overrightarrow{P_{0}C} = C - P_{0} = (1-2,\,-2+1,\,0-3) = (-1,-1,-3).

Passo 4

A distância d do ponto C à reta vem de
d = \frac{\big\|\overrightarrow{P_{0}C}\times \mathbf{u}\big\|}{\|\mathbf{u}\|}.
Primeiro o produto vetorial:
\overrightarrow{P_{0}C}\times \mathbf{u} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ -1 & -1 & -3\\\\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = (7,\,-4,\,-1),
cuja norma é
\big\|(7,-4,-1)\big\| = \sqrt{7^{2} + (-4)^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{66}.
E
\|\mathbf{u}\| = \sqrt{1^{2}+2^{2}+(-1)^{2}} = \sqrt{6}.
Logo
d = \frac{\sqrt{66}}{\sqrt{6}} = \sqrt{11}\approx3,32.

Passo 5

O raio da esfera é R=3. Como
d = \sqrt{11} \approx 3,32 > 3 = R,
a reta fica completamente fora da esfera, sem pontos em comum.

Resposta

A reta é exterior à esfera (não há interseção).

Exercícios relacionados