Verifique se a reta r: \frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{2} é tangente, secante ou exterior à esfera S: x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 x+2 y-4 z+4=0.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a posição relativa da reta
r:\frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{2}
em relação à esfera
S:x^{2}+y^{2}+z^{2}-4x+2y-4z+4=0.
O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: precisamos encontrar o centro e o raio da esfera e, em seguida, calcular a distância do centro à reta para comparar com o raio.
Passo 2
Vamos escrever a esfera em forma canônica completando quadrados.
Para x: x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4.
Para y: y^{2}+2y=(y+1)^{2}-1.
Para z: z^{2}-4z=(z-2)^{2}-4.
Substituindo em S obtemos
(x-2)^{2}-4+(y+1)^{2}-1+(z-2)^{2}-4+4=0
\implies (x-2)^{2}+(y+1)^{2}+(z-2)^{2}=5.
Logo o centro é C=(2,-1,2) e o raio é r=\sqrt{5}.
Passo 3
Escrevemos a reta em forma paramétrica. Seja t\in\mathbb{R}:
x=3+2t,\quad y=-1-t,\quad z=0+2t.
Dessa forma, um ponto da reta é A=(3,-1,0) e o vetor direção é \vec{u}=(2,-1,2).