Verifique se a reta r: \frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{2} é tangente, secante ou exterior à esfera S: x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 x+2 y-4 z+4=0.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a posição relativa da reta
r:\frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{2}
em relação à esfera
S:x^{2}+y^{2}+z^{2}-4x+2y-4z+4=0.
O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: precisamos encontrar o centro e o raio da esfera e, em seguida, calcular a distância do centro à reta para comparar com o raio.

Passo 2

Vamos escrever a esfera em forma canônica completando quadrados.
Para x: x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4.
Para y: y^{2}+2y=(y+1)^{2}-1.
Para z: z^{2}-4z=(z-2)^{2}-4.
Substituindo em S obtemos
(x-2)^{2}-4+(y+1)^{2}-1+(z-2)^{2}-4+4=0
\implies (x-2)^{2}+(y+1)^{2}+(z-2)^{2}=5.
Logo o centro é C=(2,-1,2) e o raio é r=\sqrt{5}.

Passo 3

Escrevemos a reta em forma paramétrica. Seja t\in\mathbb{R}:
x=3+2t,\quad y=-1-t,\quad z=0+2t.
Dessa forma, um ponto da reta é A=(3,-1,0) e o vetor direção é \vec{u}=(2,-1,2).

Passo 4

A distância de C à reta é dada por
d=\frac{\|\overrightarrow{CA}\times\vec{u}\|}{\|\vec{u}\|},
onde \overrightarrow{CA}=C-A.

Passo 5

Calculamos
\overrightarrow{CA}=(2-3,\,-1-(-1),\,2-0)=(-1,0,2),
\overrightarrow{CA}\times\vec{u} =\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ -1&0&2\\\ 2&-1&2\end{vmatrix} =(2,6,1),
\|\overrightarrow{CA}\times\vec{u}\|=\sqrt{2^{2}+6^{2}+1^{2}}=\sqrt{41}, \quad \|\vec{u}\|=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}=3.
Portanto
d=\frac{\sqrt{41}}{3}\approx2,13.

Passo 6

Comparamos d com o raio r=\sqrt{5}\approx2,24. Como
d=\frac{\sqrt{41}}{3}<\sqrt{5},
a reta corta a esfera em dois pontos, ou seja, é secante.

Resposta

secante

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