Dada a expressão E(x)=\left|\left|1-x^{2}\right|-1\right|, escreva-a através de senteças distintas, válidas em intervalos distintos.
(20 pontos)

Passo 1

O enunciado dá a função com valor absoluto aninhado
E(x)=\bigl|\bigl|1 - x^{2}\bigr| - 1\bigr|
e pede uma forma por partes válida em intervalos de x. Vamos precisar identificar os pontos em que as expressões internas mudam de sinal, isto é, resolver onde 1 - x^{2}=0 e onde \bigl|1 - x^{2}\bigr|-1=0.

Passo 2

Primeiro achamos onde 1 - x^{2}=0.
1 - x^{2}=0\quad\Longrightarrow\quad x=\pm1.
Isso divide a reta em duas regiões: \lvert x\rvert\le1 e \lvert x\rvert>1. Em cada uma, simplificamos \lvert1 - x^{2}\rvert.

Passo 3

Para \lvert x\rvert\le1 temos 1 - x^{2}\ge0, logo
\lvert1 - x^{2}\rvert = 1 - x^{2}.
Substituindo em E(x)
E(x)=\bigl|(1 - x^{2}) - 1\bigr|=\lvert -\,x^{2}\rvert = x^{2}.

Passo 4

Para \lvert x\rvert>1 temos 1 - x^{2}<0, logo
\lvert1 - x^{2}\rvert = x^{2} - 1,
e
E(x)=\bigl|(x^{2}-1)-1\bigr|=\lvert x^{2}-2\rvert.
Agora identificamos onde x^{2}-2=0, ou seja, \lvert x\rvert=\sqrt2, para dividir em dois subintervalos.

Passo 5

Na região 1<\lvert x\rvert<\sqrt2 temos x^{2}-2<0, então
E(x)=\lvert x^{2}-2\rvert = 2 - x^{2}.
Para \lvert x\rvert\ge\sqrt2 temos x^{2}-2\ge0, logo
E(x)=x^{2}-2.

Resposta

Para \lvert x\rvert\le1, E(x)=x^{2}.
Para 1<\lvert x\rvert<\sqrt2, E(x)=2 - x^{2}.
Para \lvert x\rvert\ge\sqrt2, E(x)=x^{2} - 2.

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