Nos exercícios (3-9), resolva os seguintes problemas de valores iniciais dados.
X^{\prime}=\left(\begin{array}{cccc} 2 & 2 & 0 & 0 \\\\ 2 & 2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 & 2 \\\\ 0 & 0 & 2 & 2 \end{array}\right) X, \quad X(0)=\left(\begin{array}{c} 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear de EDOs
X' = A\,X,\quad A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 & 0\\\\ 2 & 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 & 2\\\\ 0 & 0 & 2 & 2 \end{pmatrix},
com condição inicial
X(0) = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares por mudança de variáveis (ou diagonalização em blocos). Vamos explorar combinações lineares de componentes para decouplar o sistema.

Passo 2

Definimos as combinações
y = x_{1} + x_{2},\quad u = x_{1} - x_{2},\quad z = x_{3} + x_{4},\quad v = x_{3} - x_{4}.
Calculamos as derivadas usando X'=AX:
y' = x_{1}'+x_{2}' = (2x_{1}+2x_{2}) + (2x_{1}+2x_{2}) = 4\,y,
u' = x_{1}'-x_{2}' = (2x_{1}+2x_{2}) - (2x_{1}+2x_{2}) = 0,
e, de modo análogo,
z' = 4\,z,\quad v' = 0.

Passo 3

As EDOs ficam decoupladas:
y' = 4y,\quad u' = 0,\quad z' = 4z,\quad v' = 0.
Usando as condições iniciais y(0)=1+1=2, u(0)=1-1=0, z(0)=1+1=2, v(0)=1-1=0, obtemos
y(t) = 2\,e^{4t},\quad u(t) = 0,\quad z(t) = 2\,e^{4t},\quad v(t) = 0.

Passo 4

Reconstituímos as componentes originais:
x_{1} = \frac{y+u}{2},\quad x_{2} = \frac{y-u}{2},\quad x_{3} = \frac{z+v}{2},\quad x_{4} = \frac{z-v}{2}.
Substituindo u=v=0 e y=z=2e^{4t}, resulta
x_{1}(t) = e^{4t},\;x_{2}(t) = e^{4t},\; x_{3}(t) = e^{4t},\;x_{4}(t) = e^{4t}.

Resposta

X(t) = \begin{pmatrix} e^{4t}\\\ e^{4t}\\\ e^{4t}\\\ e^{4t} \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados