Determine o conjunto solução da seguinte equação biquadrada:
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o conjunto solução da equação biquadrada
.\n
Informações dadas: a equação é um polinômio em que envolve só potências pares (
e
) e um termo constante. Não há outras restrições explícitas (logo assumimos procura das soluções reais, a menos que se peça o contrário).
Informações dadas: a equação é um polinômio em
Passo 2
Ideia central (explicação didática): quando uma equação tem apenas potências pares de
(como
e
), é muito útil fazer a substituição
Isso transforma a equação “biquadrada” numa equação quadrática em
, que é mais simples de resolver. Vou explicar por que isso funciona: se
, então
. Assim toda expressão em potências pares de
vira uma expressão polinomial em
. Depois de achar os valores possíveis de
, voltamos à relação
para obter
.
Passo 3
Aplicando a substituição
na equação dada, obtemos a quadrática em
:
Agora resolvemos essa quadrática. Métodos comuns: fatoração, fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática), ou completar quadrado. Aqui a fatoração é direta porque procuramos dois números com soma
e produto
. Esses números são
e
. Então a fatoração é
Portanto as raízes em
são dadas pelas soluções dos fatores nulos:
ou seja
Passo 4
Agora voltamos à relação
. Para cada valor de
encontrado, resolvemos
. Primeiro, para
temos
Explicação de como resolver
: as soluções reais são
quando
; se
não existem soluções reais (existiriam complexas, envolvendo
). Aqui
, então
Passo 5
Agora para
temos
Usando a mesma regra, como
,
Passo 6
Reunindo as soluções obtidas:
e
. Podemos fazer uma checagem rápida: substituir cada valor na equação original deve zerá-la. Por exemplo, para
,
e para
,
Mesma verificação para
e
funciona porque só aparecem potências pares. Portanto todas são soluções válidas e não perdemos nenhuma solução no processo.