Determine o conjunto solução da seguinte equação biquadrada: x^{4}-5 x^{2}+4=0.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o conjunto solução da equação biquadrada x^{4}-5x^{2}+4=0.\n
Informações dadas: a equação é um polinômio em x que envolve só potências pares ( x^{4} e x^{2}) e um termo constante. Não há outras restrições explícitas (logo assumimos procura das soluções reais, a menos que se peça o contrário).

Passo 2

Ideia central (explicação didática): quando uma equação tem apenas potências pares de x (como x^{4} e x^{2}), é muito útil fazer a substituição
y = x^{2}.
Isso transforma a equação “biquadrada” numa equação quadrática em y, que é mais simples de resolver. Vou explicar por que isso funciona: se y=x^{2}, então x^{4}=(x^{2})^{2}=y^{2}. Assim toda expressão em potências pares de x vira uma expressão polinomial em y. Depois de achar os valores possíveis de y, voltamos à relação y=x^{2} para obter x.

Passo 3

Aplicando a substituição y=x^{2} na equação dada, obtemos a quadrática em y:
y^{2}-5y+4=0.
Agora resolvemos essa quadrática. Métodos comuns: fatoração, fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática), ou completar quadrado. Aqui a fatoração é direta porque procuramos dois números com soma -5 e produto 4. Esses números são -1 e -4. Então a fatoração é
y^{2}-5y+4=(y-1)(y-4).
Portanto as raízes em y são dadas pelas soluções dos fatores nulos:
y-1=0 \quad\text{ou}\quad y-4=0,
ou seja
y=1 \quad\text{ou}\quad y=4.

Passo 4

Agora voltamos à relação y=x^{2}. Para cada valor de y encontrado, resolvemos x^{2}=y. Primeiro, para y=1 temos
x^{2}=1.
Explicação de como resolver x^{2}=a: as soluções reais são x=\pm\sqrt{a} quando a\ge 0; se a<0 não existem soluções reais (existiriam complexas, envolvendo i). Aqui a=1\ge 0, então
x=\pm\sqrt{1}=\pm 1.

Passo 5

Agora para y=4 temos
x^{2}=4.
Usando a mesma regra, como 4\ge 0,
x=\pm\sqrt{4}=\pm 2.

Passo 6

Reunindo as soluções obtidas: x=\pm 1 e x=\pm 2. Podemos fazer uma checagem rápida: substituir cada valor na equação original deve zerá-la. Por exemplo, para x=1,
1^{4}-5\cdot 1^{2}+4 = 1-5+4=0,
e para x=2,
2^{4}-5\cdot 2^{2}+4 = 16-20+4=0.
Mesma verificação para -1 e -2 funciona porque só aparecem potências pares. Portanto todas são soluções válidas e não perdemos nenhuma solução no processo.

Resposta

-2
-1
1
2

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