Dada F(s)=mathscrL(f), obtenha f(t)(L, m, k, a e b são constantes).
F(s)=1(s-raiz3)(s+raiz5)

Passo 1

O enunciado pede para inverter a transformada de Laplace F(s)=1(s-raiz3)(s+raiz5). Isso é conteúdo de transformada inversa usando frações parciais e vamos precisar das fórmulas básicas mathscrL^-11/(s-a)=e^at e mathscrL^-11/(s+b)=e^-bt.

Passo 2

Primeiro decomponho em frações parciais: defini a=raiz3 e b=raiz5 e escrevo
1(s-a)(s+b)=As-a+Bs+b
Multiplicando ambos os lados por (s-a)(s+b)
$$
1=A(s+b)+B(s-a) 1=A(s+b)+B(s-a)ãã\frac{1}{(s-a)(s+b)}=\frac{1}{a+b}\Bigl(\frac{1}{s-a}-\frac{1}{s+b}\Bigr)$$
Agora aplico a transformada inversa em cada termo:
$$
f(t)=\frac{1}{a+b}\bigl(e{at}-e{-bt}\bigr)$$
Finalmente substituo s e A.

Resposta

f(t)=\displaystyle \frac{e{\sqrt{3},t}-e{-\sqrt{5},t}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}

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