Dada
, determine o dominio, as assintotas verticais a horizontais se existirem, os pontos criticos, maximos e minimos, os pontos de inflexáo e esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede domínio, assíntotas, pontos críticos e de inflexão, máximos e mínimos locais, e o esboço do gráfico. Trata-se de estudo de função racional, exigindo limites para assíntotas e derivadas (primeira e segunda) para caracterizar extremos e concavidade.
Passo 2
Para o domínio, exigimos
, logo
. Assim
As assíntotas verticais ocorrem em
e
. Para a horizontal, calculamos
logo
é a assíntota horizontal.
Passo 3
Derivando por quociente, obtemos
O único zero de
no domínio é em
. Avaliando,
. Como
para
e
para
,
é mínimo local, em
. Não há máximos locais.
Passo 4
Para a concavidade, calculamos
O numerador é sempre negativo, e o sinal de
vem de
:
em
(côncava para baixo) e
em
(côncava para cima). As mudanças de concavidade ocorrem em
, que não pertencem ao domínio, portanto não há pontos de inflexão no domínio.
Passo 5
No esboço, traçamos as assíntotas verticais
e a horizontal
. A função decresce em de
até
, explode em
próximo a
; em
cresce até
; em
continua aumentando até
perto de
; em
decresce de
até aproximar
em
. O mínimo local ocorre em
.
Resposta
Domínio: (-∞,-1) ∪ (-1,1) ∪ (1,∞)
Assíntotas verticais: x = –1 e x = 1
Assíntota horizontal: y = –1
Ponto crítico: (0,1), mínimo local
Não há máximos locais
Não há pontos de inflexão no domínio
Esboço: curva racional com as assíntotas indicadas e mínimo em (0,1), côncava para cima em (–1,1) e para baixo em |x|>1.
Assíntotas verticais: x = –1 e x = 1
Assíntota horizontal: y = –1
Ponto crítico: (0,1), mínimo local
Não há máximos locais
Não há pontos de inflexão no domínio
Esboço: curva racional com as assíntotas indicadas e mínimo em (0,1), côncava para cima em (–1,1) e para baixo em |x|>1.