Dada f(x)=-x^2+1x^2-1, determine o dominio, as assintotas verticais a horizontais se existirem, os pontos criticos, maximos e minimos, os pontos de inflexáo e esboce o gráfico.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x) = -x^2+1x^2-1 e pede domínio, assíntotas, pontos críticos e de inflexão, máximos e mínimos locais, e o esboço do gráfico. Trata-se de estudo de função racional, exigindo limites para assíntotas e derivadas (primeira e segunda) para caracterizar extremos e concavidade.

Passo 2

Para o domínio, exigimos x^2-1neq0, logo xneqpm1. Assim
Dom(f)=(-infty,-1)cup(-1,1)cup(1,infty)
As assíntotas verticais ocorrem em x=-1 e x=1. Para a horizontal, calculamos
limxtopminftyf(x)=limxtopminfty!l(-tfracx^2+1x^2-1r)=-1,
logo y=-1 é a assíntota horizontal.

Passo 3

Derivando por quociente, obtemos
f'(x)=4x/(x^2-1)^2
O único zero de f' no domínio é em x=0. Avaliando, f(0)=1. Como f'<0 para x<0 e f'>0 para x>0, x=0 é mínimo local, em (0,1). Não há máximos locais.

Passo 4

Para a concavidade, calculamos
f''(x)=-43x^2+1(x^2-1)^3
O numerador é sempre negativo, e o sinal de f'' vem de (x^2-1)^3: f''<0 em |x|>1 (côncava para baixo) e f''>0 em |x|<1 (côncava para cima). As mudanças de concavidade ocorrem em x=pm1, que não pertencem ao domínio, portanto não há pontos de inflexão no domínio.

Passo 5

No esboço, traçamos as assíntotas verticais e a horizontal . A função decresce em de até , explode em próximo a ; em cresce até ; em continua aumentando até perto de ; em decresce de até aproximar em . O mínimo local ocorre em .

Resposta

Domínio: (-∞,-1) ∪ (-1,1) ∪ (1,∞)
Assíntotas verticais: x = –1 e x = 1
Assíntota horizontal: y = –1
Ponto crítico: (0,1), mínimo local
Não há máximos locais
Não há pontos de inflexão no domínio
Esboço: curva racional com as assíntotas indicadas e mínimo em (0,1), côncava para cima em (–1,1) e para baixo em |x|>1.

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