Derive as funções:
f(x)=(2 x+13 x-4)^4

Passo 1

Vamos resolver o problema de derivar a função f(x) = (2x + 13x - 4)^4 . Para isso, vamos usar o conteúdo de Derivadas, especificamente a Regra da Cadeia e a Regra do Quociente. Precisaremos entender como aplicar essas regras para encontrar a derivada dessa função.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a função f(x) é uma composição de funções, ou seja, temos uma função externa u^4 onde u = 2x + 13x - 4 . Para derivar f(x) , vamos aplicar a Regra da Cadeia, que nos diz que a derivada de uma função composta f(g(x)) é f'(g(x)) cdot g'(x) .

Passo 3

Aplicando a Regra da Cadeia, a derivada de f(x) será:
f'(x) = 4 (2x + 13x - 4)^3 cdot ddx(2x + 13x - 4)
Agora, precisamos calcular a derivada da parte interna, ou seja, ddx(2x + 13x - 4) .

Passo 4

Para derivar 2x + 13x - 4 , usamos a Regra do Quociente, que diz:
ddx(uv) = u'v - uv'v^2
Aqui, u = 2x + 1 e v = 3x - 4 .

Passo 5

Calculamos as derivadas de u e v :
u' = ddx(2x + 1) = 2
v' = ddx(3x - 4) = 3
Agora, aplicamos na fórmula da Regra do Quociente:
ddx(2x + 13x - 4) = 2(3x - 4) - (2x + 1)(3)(3x - 4)^2

Passo 6

Simplificamos a expressão do numerador:
2(3x - 4) - 3(2x + 1) = 6x - 8 - 6x - 3 = -11
Portanto, a derivada da parte interna é:
ddx(2x + 13x - 4) = -11(3x - 4)^2

Passo 7

Substituímos essa derivada de volta na expressão de f'(x) :
f'(x) = 4 (2x + 13x - 4)^3 cdot (-11(3x - 4)^2)
Simplificando, temos:
f'(x) = -44 (2x + 13x - 4)^3 cdot 1(3x - 4)^2 = -44 (2x + 1)^3(3x - 4)^5

Resposta

A derivada de f(x) = (2x + 13x - 4)^4 é:
f'(x) = -44 (2x + 1)^3(3x - 4)^5

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