Seja / a funçalo definida por
f(x)=\left\{\begin{array}{cl}1-x, & \text { se } x \leq 1 \x^{2}, & \text { se } x>1\end{array}\right.
f é contínua em 1 ? Senão informe o tipo de descontinuidade.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases} 1 - x, & \text{se }x \leq 1,\\\ x^{2}, & \text{se }x > 1, \end{cases}
e pergunta se f é contínua em x=1. Lembrando que f é contínua em x=1 se, e somente se,
\lim_{x\to1^-}f(x) =\lim_{x\to1^+}f(x) =f(1).

Passo 2

Calcular f(1). Como 1\leq1, usamos a primeira parte:
f(1)=1-1=0.

Passo 3

Calcular o limite pela esquerda: para x\to1^-, x\le1 então
\lim_{x\to1^-}f(x) =\lim_{x\to1^-}(1-x) =1-1=0.

Passo 4

Calcular o limite pela direita: para x\to1^+, x>1 então
\lim_{x\to1^+}f(x) =\lim_{x\to1^+}x^{2} =1^{2}=1.

Passo 5

Compare os dois limites laterais:
\lim_{x\to1^-}f(x)=0 \quad\neq\quad \lim_{x\to1^+}f(x)=1.
Como essas duas quantidades são diferentes, \lim_{x\to1}f(x) não existe e, portanto, f não é contínua em x=1. Além disso, as duas semi-limites existem e são finitas mas são diferentes, o que caracteriza uma descontinuidade de salto.

Resposta

Não, f não é contínua em x=1. Há uma descontinuidade do tipo salto.

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