Dada
, faça um esbopo do gráfico de
. Coloque todos os passos necessirios de modo legivel e organizado.
Passo 1
O enunciado pede um esboço do gráfico de
O conteúdo aqui é análise de função polinomial: vamos precisar do domínio, interceptos com eixos, fatoração para achar zeros, derivadas para monotonicidade e concavidade e, por fim, montar o esboço.
Passo 2
Domínio de
é
.
Para encontrar os zeros de , fazemos divisão sintética ou reconhecemos a fatoração:
Para encontrar os zeros de
Daí os zeros são
O intercepto em
vem de
, isto é, o ponto
.
Passo 3
Calculamos a primeira derivada e achamos pontos críticos.
Resolvendo
fatoramos
de modo que
Os valores da função nesses pontos são
Passo 4
Analisamos o sinal de
em cada intervalo:
- Para , escolha
:
, logo
decresce.
- Entre e
, escolha
:
, continua decrescendo.
- Para , escolha
:
, logo
cresce.
Conclusão: não há máximo local (pois em a derivada muda de zero duplo sem troca de sinal), e há mínimo local em
.
- Para
- Entre
- Para
Conclusão: não há máximo local (pois em
Passo 5
Para a concavidade, usamos a segunda derivada:
As inflexões ocorrem em
.
- Se , então
e
é côncava para cima.
- Se , então
e
é côncava para baixo.
Em particular, em temos ponto de inflexão que coincide com raíz tripla (flutuação de concavidade), e em
outro ponto de inflexão:
- Se
- Se
Em particular, em
Passo 6
Resumo dos pontos importantes:
Como
para
, o esboço é um “U” aberto nas pontas, decrescendo até
com mudança de concavidade, continuando decrescendo até o mínimo em
, e depois crescendo para
.
Resposta
O gráfico de
é uma curva quartica com:
(a) raízes em (multiplicidade 3) e
,
(b) mínimo local em ,
(c) inflexões em e
,
(d) intercepto em em
,
e ramos subindo para quando
.
(a) raízes em
(b) mínimo local em
(c) inflexões em
(d) intercepto em
e ramos subindo para