Dada f(x), faça um esbopo do gráfico de f. Coloque todos os passos necessirios de modo legivel e organizado.
f(x)=x^{4}-6 x^{2}-8 x-3

Passo 1

O enunciado pede um esboço do gráfico de
f(x)=x^{4}-6x^{2}-8x-3.
O conteúdo aqui é análise de função polinomial: vamos precisar do domínio, interceptos com eixos, fatoração para achar zeros, derivadas para monotonicidade e concavidade e, por fim, montar o esboço.

Passo 2

Domínio de f é \mathbb{R}.
Para encontrar os zeros de f, fazemos divisão sintética ou reconhecemos a fatoração:
f(x)=x^{4}-6x^{2}-8x-3=(x-3)(x+1)^3.
Daí os zeros são
x=3\quad(\text{multiplicidade 1}),\qquad x=-1\quad(\text{multiplicidade 3}).
O intercepto em y vem de f(0)=-3, isto é, o ponto (0,-3).

Passo 3

Calculamos a primeira derivada e achamos pontos críticos.
f'(x)=4x^3-12x-8=4\bigl(x^3-3x-2\bigr).
Resolvendo x^3-3x-2=0 fatoramos
x^3-3x-2=(x-2)(x+1)^2,
de modo que
f'(x)=0\quad\Longrightarrow\quad x=2\quad(\text{simples}),\quad x=-1\quad(\text{duplo}).
Os valores da função nesses pontos são
f(-1)=0,\qquad f(2)=2^4-6\cdot2^2-8\cdot2-3=-27.

Passo 4

Analisamos o sinal de f' em cada intervalo:
- Para x< -1, escolha x=-2: f'(-2)=4(-8+6-2)=4\cdot(-4)<0, logo f decresce.
- Entre -1 e 2, escolha x=0: f'(0)=-8<0, continua decrescendo.
- Para x>2, escolha x=3: f'(3)=4(27-9-2)=4\cdot16>0, logo f cresce.
Conclusão: não há máximo local (pois em -1 a derivada muda de zero duplo sem troca de sinal), e há mínimo local em x=2.

Passo 5

Para a concavidade, usamos a segunda derivada:
f''(x)=12x^2-12=12(x^2-1).
As inflexões ocorrem em x=\pm1.
- Se |x|>1, então f''(x)>0 e f é côncava para cima.
- Se -1<x<1, então f''(x)<0 e f é côncava para baixo.
Em particular, em x=-1 temos ponto de inflexão que coincide com raíz tripla (flutuação de concavidade), e em x=1 outro ponto de inflexão:
f(1)=1-6-8-3=-16.

Passo 6

Resumo dos pontos importantes:
\begin{aligned} &\text{Zeros: }(-1,0)\text{ (raiz tripla, passa com tangente horizontal)},\;(3,0)\text{ (raiz simples)},\\\ &\text{Intercepto em }y:(0,-3),\\\ &\text{Crítico: }(2,-27)\text{ mínimo local},\\\ &\text{Inflexões: }(-1,0)\text{ e }(1,-16). \end{aligned}ííõ
Como f(x)\to+\infty para x\to\pm\infty, o esboço é um “U” aberto nas pontas, decrescendo até (-1,0) com mudança de concavidade, continuando decrescendo até o mínimo em (2,-27), e depois crescendo para +\infty.

Resposta

O gráfico de f é uma curva quartica com:
(a) raízes em x=-1 (multiplicidade 3) e x=3,
(b) mínimo local em (2,-27),
(c) inflexões em (-1,0) e (1,-16),
(d) intercepto em y em (0,-3),
e ramos subindo para +\infty quando x\to\pm\infty.

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