Resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=e^{x} \operatorname{tg} x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''-2y'+2y=e^{x}\tan x
pelo método da variação dos parâmetros. Vamos primeiro achar a solução geral da equação homogênea associada e depois aplicar a variação dos parâmetros para obter uma solução particular.

Passo 2

Escrevemos a equação homogênea
y''-2y'+2y=0.
A equação característica é
r^{2}-2r+2=0,
cuja raiz é
r=1\pm i.
Logo uma base de soluções da homogênea é
y_{1}(x)=e^{x}\cos x,\quad y_{2}(x)=e^{x}\sin x.

Passo 3

Para variação dos parâmetros precisamos do Wronskiano
W(x)= \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2}\\\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix}.
Calculando
y_{1}'=e^{x}(\cos x-\sin x), \quad y_{2}'=e^{x}(\sin x+\cos x),
temos
W(x) =e^{x}\cos x\cdot e^{x}(\sin x+\cos x) -e^{x}\sin x\cdot e^{x}(\cos x-\sin x) =e^{2x}(\cos^{2}x+\sin^{2}x) =e^{2x}.

Passo 4

As fórmulas de variação dos parâmetros dizem que uma particular y_{p} pode ser escrita como
y_{p}=u_{1}(x)\,y_{1}(x)+u_{2}(x)\,y_{2}(x),
onde
u_{1}'(x)=-\frac{y_{2}(x)\,g(x)}{W(x)}, \quad u_{2}'(x)=\frac{y_{1}(x)\,g(x)}{W(x)},
e g(x)=e^{x}\tan x. Substituindo y_{1},y_{2},W e g:
u_{1}'(x) =-\frac{e^{x}\sin x\;e^{x}\tan x}{e^{2x}} =-\frac{\sin x}{\cos x}\sin x =-\frac{\sin^{2}x}{\cos x},
u_{2}'(x) =\frac{e^{x}\cos x\;e^{x}\tan x}{e^{2x}} =\frac{\sin x}{\cos x}\cos x =\sin x.

Passo 5

Integramos para achar u_{1} e u_{2}. Primeiro
u_{1}'(x) =-\frac{\sin^{2}x}{\cos x} =-\Bigl(\operatorname{sec} x-\cos x\Bigr),
logo
u_{1}(x) =-\int\operatorname{sec} x\,dx+\int\cos x\,dx =-\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr|+\sin x.
E
u_{2}(x)=\int\sin x\,dx=-\cos x.
Podemos desprezar constantes de integração pois elas entram na solução homogênea.

Passo 6

A solução particular é
y_{p} =u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2} =\bigl(-\ln|\operatorname{sec} x+\tan x|+\sin x\bigr)e^{x}\cos x +(-\cos x)\,e^{x}\sin x.
Repare que os termos com \sin x\cos x se cancelam, sobrando
y_{p} =-e^{x}\cos x\;\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr|.

Passo 7

A solução geral da equação não-homogênea é
y(x) =y_{h}(x)+y_{p}(x) =e^{x}\bigl(C_{1}\cos x+C_{2}\sin x\bigr) \;-\;e^{x}\cos x\;\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr|.

Resposta

y(x)=e^{x}\Bigl(C_{1}\cos x+C_{2}\sin x-\cos x\;\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr|\Bigr).

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