Resolva a equação diferencial dada sujeita às condiçōes indicadas. y^{\prime \prime}+y=\operatorname{sec} ^{3} x, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=\frac{1}{2}
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem
y'' + y = \operatorname{sec}^3 x
com as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=\tfrac12.
O método que vamos usar é o da variação de constantes para obter uma solução particular, somada à solução geral da homogênea.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da homogênea associada
y'' + y = 0.
As raízes da característica são \pm i, de modo que
y_h(x) = C_1\cos x + C_2\sin x.
Passo 3
Para a variação de constantes escrevemos
y_p(x) = u_1(x)\cos x + u_2(x)\sin x
e exigimos
\begin{cases} u_1'\cos x + u_2'\sin x = 0,\\\\ -u_1'\sin x + u_2'\cos x = \operatorname{sec}^3 x. \end{cases}
O determinante (Wronskiano) vale W=1. Das equações obtemos
u_1' = -\operatorname{sec}^3 x\;\sin x = -\tan x\,\operatorname{sec}^2 x, \qquad u_2' = \operatorname{sec}^3 x\;\cos x = \operatorname{sec}^2 x.