Resolva a equação diferencial dada sujeita às condiçōes indicadas.
y^{\prime \prime}+y=\operatorname{sec} ^{3} x, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem
y'' + y = \operatorname{sec}^3 x
com as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=\tfrac12.
O método que vamos usar é o da variação de constantes para obter uma solução particular, somada à solução geral da homogênea.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da homogênea associada
y'' + y = 0.
As raízes da característica são \pm i, de modo que
y_h(x) = C_1\cos x + C_2\sin x.

Passo 3

Para a variação de constantes escrevemos
y_p(x) = u_1(x)\cos x + u_2(x)\sin x
e exigimos
\begin{cases} u_1'\cos x + u_2'\sin x = 0,\\\\ -u_1'\sin x + u_2'\cos x = \operatorname{sec}^3 x. \end{cases}
O determinante (Wronskiano) vale W=1. Das equações obtemos
u_1' = -\operatorname{sec}^3 x\;\sin x = -\tan x\,\operatorname{sec}^2 x, \qquad u_2' = \operatorname{sec}^3 x\;\cos x = \operatorname{sec}^2 x.

Passo 4

Integramos cada uma:
u_2(x) = \int \operatorname{sec}^2 x\,dx = \tan x,
u_1(x) = \int -\tan x\,\operatorname{sec}^2 x\,dx.
Como \operatorname{sec}^2 x = 1+\tan^2 x, seja t=\tan x e dt=\operatorname{sec}^2 x\,dx, temos
u_1(x) = -\int t\,dt = -\tfrac12\,t^2 = -\tfrac12\tan^2 x.
Logo
y_p(x) = -\tfrac12\tan^2 x\cos x + \tan x\sin x = \tfrac12\bigl(\operatorname{sec} x - \cos x\bigr).

Passo 5

A solução geral da não-homogênea é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1\cos x + C_2\sin x + \tfrac12\operatorname{sec} x - \tfrac12\cos x = A\cos x + C_2\sin x + \tfrac12\operatorname{sec} x,
onde A=C_1-\tfrac12.

Passo 6

Aplicando y(0)=1:
y(0)=A\cdot1 + C_2\cdot0 + \tfrac12\cdot1 = A + \tfrac12 = 1 \;\Longrightarrow\;A=\tfrac12.
Agora y'(x) = -A\sin x + C_2\cos x + \tfrac12\operatorname{sec} x\tan x.
Em x=0:
y'(0) = -A\cdot0 + C_2\cdot1 + \tfrac12\cdot1\cdot0 = C_2 = \tfrac12.

Resposta

\boxed{y(x) = \tfrac12\cos x + \tfrac12\sin x + \tfrac12\operatorname{sec} x.}

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