Resolva usando dois métodos diferentes e compare o resultado.
Passo 1
Então, temos que resolver a equação diferencial
. Vamos usar dois métodos diferentes para resolver essa equação e, depois, comparar os resultados. Os conteúdos que vamos precisar são equações diferenciais de primeira ordem e técnicas como a separação de variáveis e fatores integrantes.
Passo 2
Primeiro Método: Separação de Variáveis
Primeiro, vamos tentar separar as variáveis
e
para facilitar a resolução.
- Começamos escrevendo a equação original:
- Subtraímos
de ambos os lados: - Dividimos ambos os lados por
: - Agora, separamos as variáveis
e : - Integramos ambos os lados:
- As integrais resultam em:
- Podemos reescrever isso como:
- Aplicando as propriedades dos logaritmos:
- Exponenciando ambos os lados para resolver para
: - Chamando
de constante :
Passo 3
Segundo Método: Fator Integrante
Agora, vamos resolver a mesma equação usando um fator integrante.
- Reescrevemos a equação na forma padrão de equações lineares:
- Identificamos o coeficiente da
, que é . - Calculamos o fator integrante
: - Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
: - Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
: - Integrando ambos os lados:
- Resolvendo para
:
Resposta
Ambos os métodos nos levam à solução geral da equação diferencial:
onde
é uma constante arbitrária.