Resolva usando dois métodos diferentes e compare o resultado.
c x y' + y = 0

Passo 1

Então, temos que resolver a equação diferencial . Vamos usar dois métodos diferentes para resolver essa equação e, depois, comparar os resultados. Os conteúdos que vamos precisar são equações diferenciais de primeira ordem e técnicas como a separação de variáveis e fatores integrantes.

Passo 2

Primeiro Método: Separação de Variáveis
Primeiro, vamos tentar separar as variáveis e para facilitar a resolução.
  1. Começamos escrevendo a equação original:
  2. Subtraímos de ambos os lados:
  3. Dividimos ambos os lados por :
  4. Agora, separamos as variáveis e :
  5. Integramos ambos os lados:
  6. As integrais resultam em:
  7. Podemos reescrever isso como:
  8. Aplicando as propriedades dos logaritmos:
  9. Exponenciando ambos os lados para resolver para :
  10. Chamando de constante :

Passo 3

Segundo Método: Fator Integrante
Agora, vamos resolver a mesma equação usando um fator integrante.
  1. Reescrevemos a equação na forma padrão de equações lineares:
  2. Identificamos o coeficiente da , que é .
  3. Calculamos o fator integrante :
  4. Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante :
  5. Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :
  6. Integrando ambos os lados:
  7. Resolvendo para :

Resposta

Ambos os métodos nos levam à solução geral da equação diferencial:
onde é uma constante arbitrária.

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