Dada f(x)\left\{\begin{array}{llc}2 x-a & \text { se } & x<-3 \\\ a x+2 b & \text { se } & -3 \leq x \leq 3 \\\ b-5 x & \text { se } & 3<x .\end{array}\right.
Ache os valores de a e b, tais que existam os limites: \lim _{x \rightarrow-3} f(x) e \lim _{x \rightarrow 3} f(x).
Passo 1
O enunciado dá uma função por partes
f(x)= \begin{cases} 2x - a, & x < -3,\\\ a x + 2b, & -3 \le x \le 3,\\\ b - 5x, & x > 3, \end{cases}
e pede os valores de a e b para que existam os limites \lim_{x\to -3}f(x) e \lim_{x\to3}f(x). Em termos de teoria, isso exige que os limites laterais em cada ponto coincidam (continuidade nos pontos de quebra).
Passo 2
Para x\to -3 calculamos os limites laterais:
limite pela esquerda:
\lim_{x\to -3^-}f(x)=2(-3)-a=-6 - a,
limite pela direita:
\lim_{x\to -3^+}f(x)=a\cdot(-3)+2b=-3a + 2b.
Igualando para existir o limite:
-6 - a = -3a + 2b \quad\Longrightarrow\quad -6 = -2a + 2b \quad\Longrightarrow\quad b = a - 3.
Passo 3
Para x\to 3 calculamos os limites laterais:
limite pela esquerda:
\lim_{x\to 3^-}f(x)=a\cdot3+2b=3a+2b,
limite pela direita:
\lim_{x\to 3^+}f(x)=b-5\cdot3 = b - 15.
Igualando para existir o limite:
3a + 2b = b - 15 \quad\Longrightarrow\quad b = -3a - 15.
Passo 4
Temos o sistema em a,b\):
\[\begin{cases} b = a - 3,\\\ b = -3a - 15. \end{cases}
Igualando as duas expressões para b\]:
\[a - 3 = -3a - 15 \quad\Longrightarrow\quad 4a = -12 \quad\Longrightarrow\quad a = -3.\]
Substituindo em \(b = a - 3: