Verifique se a função f é contínua no ponto especificado.
f(x)=\left\{\begin{array}{lll}\frac{x^{3}+125}{x+5} & \text { se } x \neq-5 \\\\ 7 & \text { se } x=-5\end{array} \right. no ponto x=-5

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac{x^{3}+125}{x+5}, &\text{se }x\neq -5,\\[6pt] 7, &\text{se }x=-5, \end{cases}
e pede para verificar a continuidade de f em x=-5. Para isso precisamos calcular
  1. o limite \lim_{x\to -5}f(x),
  2. comparar esse limite com o valor f(-5)=7.]

Passo 2

Para x\neq -5 fatoramos o numerador:
x^{3}+125 = (x+5)\,(x^{2}-5x+25).
Logo, para x\neq -5,
f(x) = \frac{x^{3}+125}{x+5} = x^{2} -5x +25.

Passo 3

Usamos a expressão simplificada para calcular o limite quando x\to -5:
\lim_{x\to -5}f(x) = \lim_{x\to -5}\bigl(x^{2}-5x+25\bigr) = (-5)^{2} -5(-5) +25 = 25 +25 +25 = 75.

Passo 4

Comparando o limite com o valor da função em -5:
\lim_{x\to -5}f(x) = 75 \quad\neq\quad f(-5) = 7.
Como o limite não coincide com o valor da função, concluímos que f não é contínua em x=-5.

Resposta

A função f não é contínua no ponto x=-5.

Exercícios relacionados