Dada
(b) Prove que
é diferenciável em 0 , calculando
.
Passo 1
Queremos mostrar que a função f dada por
é diferenciável em 0 e calcular f′(0). Para isso vamos usar a definição de derivada e um limite clássico envolvendo
.
Passo 2
Pela definição de derivada em 0, temos
pois
.
Passo 3
Substituindo a expressão de
para
, obtemos
Passo 4
Para calcular o limite usemos a regra de l’Hôpital, já que o numerador e o denominador vão a zero quando
. Derivando numerador e denominador:
Passo 5
Como o limite existe e é finito, concluímos que f é diferenciável em 0 e que seu coeficiente angular nesse ponto é f′(0)=
.
Resposta
-\frac{1}{2}