Dada
f(x)=ll cos x-1x & se x neq 0 0 & se x=0
(b) Prove que f é diferenciável em 0 , calculando f^prime(0).

Passo 1

Queremos mostrar que a função f dada por
f(x)=cos x-1x,&xneq00,&x=0
é diferenciável em 0 e calcular f′(0). Para isso vamos usar a definição de derivada e um limite clássico envolvendo 1-cos x.

Passo 2

Pela definição de derivada em 0, temos
f'(0)=limxto0f(x)-f(0)x-0=limxto0f(x)x,
pois f(0)=0.

Passo 3

Substituindo a expressão de f(x) para xneq0, obtemos
f'(0)=limxto0cos x-1xx=limxto0cos x-1x^2

Passo 4

Para calcular o limite usemos a regra de l’Hôpital, já que o numerador e o denominador vão a zero quando xto0. Derivando numerador e denominador:
limxto0cos x-1x^2=limxto0-sin x2x=-tfrac12limxto0sin xx=-tfrac12cdot1=-tfrac12

Passo 5

Como o limite existe e é finito, concluímos que f é diferenciável em 0 e que seu coeficiente angular nesse ponto é f′(0)= -tfrac12.

Resposta

-\frac{1}{2}

Exercícios relacionados