Determine o volume da região acima do plano z=0, interior ao cilindro x^{2}+y^{2}=16 e interior à esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=25. Sugestão. Use coordenadas cilíndricas.
Resposta. \iiint_{R} 1 d V=\frac{196 \pi}{3}.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região R que satisfaz simultaneamente
  1. z\ge0,
  2. x^{2}+y^{2}\le16 (dentro do cilindro de raio 4),
  3. x^{2}+y^{2}+z^{2}\le25 (dentro da esfera de raio 5).
    Vamos usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) para descrever R e calcular
\iiint_{R}1\,dV.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
o elemento de volume é
dV = r\,dz\,dr\,d\theta,
e as restrições viram
0 \le r \le 4,\quad 0 \le \theta \le 2\pi,\quad 0 \le z \le \sqrt{25 - r^{2}}.

Passo 3

Montamos a integral tripla em ordem dz\,dr\,d\theta:
\iiint_{R}1\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{r=0}^{4}\!\int_{z=0}^{\sqrt{25 - r^{2}}} r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Primeiro integramos em z:
\int_{0}^{\sqrt{25 - r^{2}}}r\,dz = r\;\bigl[z\bigr]_{0}^{\sqrt{25 - r^{2}}} = r\,\sqrt{25 - r^{2}}.
Logo
\iiint_{R}1\,dV = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{4}r\,\sqrt{25 - r^{2}}\;dr\,d\theta.

Passo 5

Para a integral em r use a substituição u = 25 - r^{2}, du = -2r\,dr:
\int_{0}^{4}r\sqrt{25 - r^{2}}\,dr = -\tfrac12\int_{u=25}^{9}\!u^{1/2}\,du = \tfrac12\int_{9}^{25}\!u^{1/2}\,du = \tfrac12\cdot \frac{2}{3}\bigl[u^{3/2}\bigr]_{9}^{25} = \frac{1}{3}\bigl(125 - 27\bigr) = \frac{98}{3}.

Passo 6

Finalmente integramos em \theta:
\iiint_{R}1\,dV = \int_{0}^{2\pi}\!\frac{98}{3}\,d\theta = \frac{98}{3}\;\bigl[\,\theta\bigr]_{0}^{2\pi} = \frac{98}{3}\cdot 2\pi = \frac{196\pi}{3}.

Resposta

\frac{196\pi}{3}.

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