Dada f: X \rightarrow Y, prove:
(a) Se X é infinito e f é injetiva então Y é infinito.
(b) Se Y é infinito e f é sobrejetiva, então X é infinito.

Passo 1

O enunciado dá uma função f: X \to Y e pede para provar duas afirmações sobre infinitude de conjuntos usando injeção e sobrejeção. O conteúdo é teoria de cardinalidade: definição de conjunto finito/infinito, imagens, injeções e sobrejeções, e o fato de que todo subconjunto de um conjunto finito é finito.

Passo 2

Recordamos que um conjunto S é finito se existe bijeção entre S e \{1,2,\dots,n\} para algum n\in\mathbb{N}. Além disso, todo subconjunto de um conjunto finito é finito. Por fim, se há bijeção entre X e f(X), então X e f(X) têm a mesma natureza (finito ou infinito).

Passo 3

Prova de (a) por contrapositive. Suponha, em sentido contrário, que Y seja finito. Então f(X)\subseteq Y é um subconjunto de um conjunto finito, logo f(X) é finito. Como f é injetiva, temos bijeção entre X e f(X); portanto X também seria finito. Isso contradiz a hipótese de X infinito.
Conclui-se que a suposição “ Y finito” é falsa, isto é, Y deve ser infinito. Assim está provado (a).

Passo 4

Prova de (b) por contrapositive. Suponha agora que X seja finito. Como f é sobrejetiva, f(X)=Y. Logo Y é imagem de um conjunto finito, e portanto Y é finito (subconjunto de X ou igual a ele). Isso contradiz a hipótese de Y infinito.
Conclui-se que a suposição “ X finito” é falsa, isto é, X deve ser infinito. Assim está provado (b).

Resposta

As afirmações (a) e (b) seguem desses argumentos por contraproposição.

Exercícios relacionados