A função f(x)=x^{3}-3 x+1 possui uma única raiz no intervalo ( 0,1 ). Calcule-a usando o Método de Newton-Raphson com precisões \varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=10^{-4} e usando 5 casas decimais: DADOS:
  • x_{0}=0,5
  • \varphi(x)=x-\frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}
Iteração x_{k} \left|x_{k}-x_{k-1}\right| \left|f\left(x_{k}\right)\right|

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a única raiz de f(x)=x^{3}-3x+1 em (0,1) usando o Método de Newton–Raphson, com tolerâncias \varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=10^{-4} e arredondando cada x_{k} a 5 casas decimais.

Passo 2

Calculamos a derivada
f'(x)=3x^{2}-3
e a iteração de Newton–Raphson
x_{k+1}=x_{k}-\frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})}\,.
Começamos em x_{0}=0{,}5 e em cada passo arredondamos x_{k} a 5 casas decimais e calculamos
\lvert x_{k}-x_{k-1}\rvert e \lvert f(x_{k})\rvert, parando quando ambos forem menores que 10^{-4}.

Passo 3

Primeira iteração ( k=1):
f(0{,}5)=0{,}5^{3}-3\cdot0{,}5+1=-0{,}375,
f'(0{,}5)=3\cdot0{,}5^{2}-3=-2{,}25,
x_{1}=0{,}5-\frac{-0{,}375}{-2{,}25}=0{,}3333333\approx0{,}33333.
Logo
\lvert x_{1}-x_{0}\rvert=0{,}16667 e \lvert f(0{,}33333)\rvert\approx0{,}03705.

Passo 4

Segunda iteração ( k=2):
f(0{,}33333)\approx0{,}037047,
f'(0{,}33333)\approx-2{,}66667,
x_{2}=0{,}33333-\frac{0{,}037047}{-2{,}66667}=0{,}3472228\approx0{,}34722.
Logo
\lvert x_{2}-x_{1}\rvert=0{,}01389 e \lvert f(0{,}34722)\rvert\approx0{,}00017.

Passo 5

Terceira iteração ( k=3):
f(0{,}34722)\approx0{,}0001666,
f'(0{,}34722)\approx-2{,}63837,
x_{3}=0{,}34722-\frac{0{,}0001666}{-2{,}63837}=0{,}3472832\approx0{,}34728.
Logo
\lvert x_{3}-x_{2}\rvert=0{,}00006<10^{-4} e \lvert f(0{,}34728)\rvert\approx2{,}1\times10^{-7}<10^{-4},
então paramos.

Resposta

[
Iteração x_{k} \lvert x_{k}-x_{k-1}\rvert \lvert f(x_{k})\rvert
1 0{,}33333 0{,}16667 0{,}03705
2 0{,}34722 0{,}01389 0{,}00017
3 0{,}34728 0{,}00006 0{,}00000
]
A raiz aproximada é x\approx0{,}34728.

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