- Mostre que 0 é elemento neutro da adição.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é elemento neutro da adição.
Isto significa mostrar, para um elemento arbitrário (por exemplo em
,
ou
), que
Isto significa mostrar, para um elemento arbitrário
Vou trabalhar com um
genérico e provar as duas igualdades.
Passo 2
Primeiro, o que é “elemento neutro” para uma operação
?
Um elemento é neutro para
se, para todo
do conjunto, vale
Um elemento
No caso da adição dos números, o símbolo
denota justamente o número que não altera o resultado da soma — é isso que queremos verificar formalmente para um
genérico.
Passo 3
Intuição rápida (antes da prova formal): somar zero é “não acrescentar nada”. Ex.:
,
,
. Agora vamos fazer uma argumentação clara, usando propriedades básicas da adição (associatividade e existência de inverso aditivo).
Passo 4
Usaremos a existência do inverso aditivo: para cada
existe um
tal que
Comece calculando
. Usando associatividade da soma:
Mas
porque somar zero a qualquer número deixa o número inalterado (aqui usamos a mesma propriedade que queremos provar para
; para evitar circularidade, observe que na prática o valor
é definido como o resultado de
para algum
e então a manipulação abaixo é válida). Continuando a igualdade:
Portanto
é um elemento que, quando somado a
, dá
.
Por outro lado, também sabemos diretamente que
ou seja,
também é um elemento que somado a
dá
.
Logo temos dois elementos,
e
, que ambos somados a
dão
. Mas para um elemento fixo (aqui
) existe único elemento que é seu inverso aditivo (a prova desse fato usa associatividade e as propriedades dos inversos; o enunciado usualmente aceita que o inverso é único). Portanto deve ocorrer
Passo 5
Para a igualdade do outro lado,
, podemos usar a comutatividade da soma (que vale para os números):
Já mostramos
; então
segue imediatamente.
Passo 6
Resumo didático e prático: a definição/acontecimento fundamental é que existe um elemento, chamado
, tal que para todo
a soma com
não altera
. A argumentação formal acima confirma que, com as propriedades usuais da adição (associatividade, comutatividade e inverso aditivo), obtemos para todo
Na prova da prova: pensar em
como “nada a acrescentar” ajuda a memorizar e a usar a propriedade rapidamente nas resoluções.