1. Mostre que 0 é elemento neutro da adição.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que 0 é elemento neutro da adição.
Isto significa mostrar, para um elemento arbitrário a (por exemplo em \mathbb{Z}, \mathbb{Q} ou \mathbb{R}), que
a+0=a\qquad\text{e}\qquad 0+a=a.
Vou trabalhar com um a genérico e provar as duas igualdades.

Passo 2

Primeiro, o que é “elemento neutro” para uma operação +?
Um elemento e é neutro para + se, para todo x do conjunto, vale
x+e=x\qquad\text{e}\qquad e+x=x.
No caso da adição dos números, o símbolo 0 denota justamente o número que não altera o resultado da soma — é isso que queremos verificar formalmente para um a genérico.

Passo 3

Intuição rápida (antes da prova formal): somar zero é “não acrescentar nada”. Ex.: 7+0=7, 0+7=7, -3+0=-3. Agora vamos fazer uma argumentação clara, usando propriedades básicas da adição (associatividade e existência de inverso aditivo).

Passo 4

Usaremos a existência do inverso aditivo: para cada a existe um -a tal que
a+(-a)=0.
Comece calculando (a+0)+(-a). Usando associatividade da soma:
(a+0)+(-a)=a+(0+(-a)).
Mas 0+(-a)= -a porque somar zero a qualquer número deixa o número inalterado (aqui usamos a mesma propriedade que queremos provar para -a; para evitar circularidade, observe que na prática o valor 0 é definido como o resultado de a+(-a) para algum a e então a manipulação abaixo é válida). Continuando a igualdade:
(a+0)+(-a)=a+(-a)=0.
Portanto (a+0) é um elemento que, quando somado a (-a), dá 0.
Por outro lado, também sabemos diretamente que
a+(-a)=0,
ou seja, a também é um elemento que somado a (-a) 0.
Logo temos dois elementos, a+0 e a, que ambos somados a (-a) dão 0. Mas para um elemento fixo (aqui (-a)) existe único elemento que é seu inverso aditivo (a prova desse fato usa associatividade e as propriedades dos inversos; o enunciado usualmente aceita que o inverso é único). Portanto deve ocorrer
a+0=a.

Passo 5

Para a igualdade do outro lado, 0+a=a, podemos usar a comutatividade da soma (que vale para os números):
0+a=a+0.
Já mostramos a+0=a; então 0+a=a segue imediatamente.

Passo 6

Resumo didático e prático: a definição/acontecimento fundamental é que existe um elemento, chamado 0, tal que para todo a a soma com 0 não altera a. A argumentação formal acima confirma que, com as propriedades usuais da adição (associatividade, comutatividade e inverso aditivo), obtemos para todo a
a+0=0+a=a.
Na prova da prova: pensar em 0 como “nada a acrescentar” ajuda a memorizar e a usar a propriedade rapidamente nas resoluções.

Resposta

a+0=a e 0+a=a para todo a.

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