Mostre que a integral definida é igual a
\lim _{n \rightarrow \infty} R_{n} e então calcule o limite.
\int_{1}^{3}\left(x^{3}+5 x^{2}\right) d x, \quad R_{n}=\frac{2}{n} \sum_{i=1}^{n}\left[6+\frac{26 i}{n}+\frac{32 i^{2}}{n^{2}}+\frac{8 i^{3}}{n^{3}}\right]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\int_{1}^{3}\bigl(x^{3}+5x^{2}\bigr)\,dx
é igual a
\lim_{n\to\infty}R_{n},
onde
R_{n}=\frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n}\Bigl[6+\frac{26\,i}{n}+\frac{32\,i^{2}}{n^{2}}+\frac{8\,i^{3}}{n^{3}}\Bigr].
O conteúdo é a definição de integral como limite de soma de Riemann e, depois, o cálculo direto da integral.

Passo 2

Em [1,3] fazemos uma partição em n subintervalos iguais de comprimento
\Delta x=\frac{3-1}{n}=\frac{2}{n}
e tomamos os pontos de amostragem
x_{i}=1+i\,\Delta x=1+\frac{2i}{n},\quad i=1,2,\dots,n.
Pela definição de soma de Riemann (pontos pelo lado direito),
\int_{1}^{3}f(x)\,dx =\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\,\Delta x =\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n}f\!\Bigl(1+\tfrac{2i}{n}\Bigr).

Passo 3

Aqui f(x)=x^{3}+5x^{2}. Para x_{i}=1+\tfrac{2i}{n}:
(1+\tfrac{2i}{n})^{3} =1+6\tfrac{i}{n}+12\tfrac{i^{2}}{n^{2}}+8\tfrac{i^{3}}{n^{3}},
5(1+\tfrac{2i}{n})^{2} =5+20\tfrac{i}{n}+20\tfrac{i^{2}}{n^{2}}.
Somando dá
x_{i}^{3}+5x_{i}^{2} =6+\frac{26\,i}{n}+\frac{32\,i^{2}}{n^{2}}+\frac{8\,i^{3}}{n^{3}},
que coincide com o termo de dentro da soma em R_{n}. Logo
R_{n} =\frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n}f(x_i)
é exatamente a soma de Riemann para a integral.

Passo 4

Portanto
\lim_{n\to\infty}R_{n} =\int_{1}^{3}(x^{3}+5x^{2})\,dx.
Calculamos a primitiva:
\int(x^{3}+5x^{2})\,dx =\frac{x^{4}}{4}+\frac{5x^{3}}{3}.
Avalia em 1 e 3:
\int_{1}^{3}(x^{3}+5x^{2})\,dx =\Bigl[\frac{x^{4}}{4}+\frac{5x^{3}}{3}\Bigr]_{1}^{3} =\Bigl(\frac{81}{4}+45\Bigr) -\Bigl(\frac{1}{4}+\frac{5}{3}\Bigr) =\frac{190}{3}.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}R_{n}=\frac{190}{3}.

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