Dada
,
determine
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x, y, z) = e^{\sqrt{z - x^{2} - y^{2}}} $ e precisamos encontrar a derivada parcial de terceira ordem
. Vamos usar conceitos de cálculo de derivadas parciais e a regra da cadeia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $. Para isso, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de $ e^{u} $ em relação a $ u $ é $ e^{u} $, então:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos derivar novamente em relação a $ x $ para obter a segunda derivada parcial em $ x $. Usamos a regra do quociente e a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, precisamos derivar essa expressão em relação a $ y $. Vamos derivar cada termo separadamente:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Passo 5
Finalmente, juntando tudo e simplificando os termos, obtemos a terceira derivada parcial:
Resposta
A terceira derivada parcial é: