Dada f(x, y, z)=e^raizz-x^2-y^2,
determine partial^3 fpartial x^2 partial y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x, y, z) = e^{\sqrt{z - x^{2} - y^{2}}} $ e precisamos encontrar a derivada parcial de terceira ordem f(x, y, z) = e^raizz - x^2 - y^2 . Vamos usar conceitos de cálculo de derivadas parciais e a regra da cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $. Para isso, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de $ e^{u} $ em relação a $ u $ é $ e^{u} $, então:
f
Simplificando:
x

Passo 3

Agora, vamos derivar novamente em relação a $ x $ para obter a segunda derivada parcial em $ x $. Usamos a regra do quociente e a regra da cadeia:
x

Passo 4

Agora, precisamos derivar essa expressão em relação a $ y $. Vamos derivar cada termo separadamente:
Primeiro termo:
y
Segundo termo:
partialpartial y ( -e^raizz - x^2 - y^2raizz - x^2 - y^2 ) = -e^raizz - x^2 - y^2 cdot (-y)(z - x^2 - y^2) - e^raizz - x^2 - y^2 cdot (-y)(z - x^2 - y^2)^3/2

Passo 5

Finalmente, juntando tudo e simplificando os termos, obtemos a terceira derivada parcial:
partial^3 fpartial x^2 partial y = y cdot e^raizz - x^2 - y^2(z - x^2 - y^2) + y cdot e^raizz - x^2 - y^2(z - x^2 - y^2)^3/2 + -x^2 y cdot e^raizz - x^2 - y^2(z - x^2 - y^2)^3/2 + 3x^2 y cdot e^raizz - x^2 - y^2(z - x^2 - y^2)^5/2

Resposta

A terceira derivada parcial é:
partial^3 fpartial x^2 partial y = y cdot e^raizz - x^2 - y^2(z - x^2 - y^2) + y cdot e^raizz - x^2 - y^2(z - x^2 - y^2)^3/2 - x^2 y cdot e^raizz - x^2 - y^2(z - x^2 - y^2)^3/2 + 3x^2 y cdot e^raizz - x^2 - y^2(z - x^2 - y^2)^5/2

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